Задачи и олимпиады по математике

Задача

Пусть α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что а) cos 2$\alpha$+ cos 2$\beta$+ cos 2$\gamma$+ 4 cos$\alpha$cos$\beta$cos$\gamma$+ 1 = 0; б) cos²$\alpha$+ cos²$\beta$+ cos²$\gamma$+ 2 cos$\alpha$cos$\beta$cos$\gamma$= 1. в)cos 2$\alpha$+ cos 2$\beta$+ cos 2$\gamma$=${\frac{OH^2}{2R^2}}$-${\frac{3}{2}}$, гдеO— центр описанной окружности,H— точка пересечения высот.

Решение

а) Складывая равенства cos 2$\alpha$+ cos 2$\beta$= 2 cos($\alpha$+$\beta$)cos($\alpha$-$\beta$) = - 2 cos$\gamma$cos($\alpha$-$\beta$) и cos 2$\gamma$= 2 cos²$\gamma$- 1 = - 2 cos$\gamma$cos($\alpha$+$\beta$) - 1 и учитывая, чтоcos($\alpha$+$\beta$) + cos($\alpha$-$\beta$) = 2 cos$\alpha$cos$\beta$, получаем требуемое. б) Достаточно подставить выражения вида cos 2$\alpha$= 2 cos²$\alpha$- 1 в равенство, полученное в задаче а). в) Согласно задаче 13.13$\overrightarrow{OH}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$, поэтому

OH² = ($\displaystyle \overrightarrow{OA}$ + $\displaystyle \overrightarrow{OB}$ + $\displaystyle \overrightarrow{OC}$)² = 3R² + 2R²(cos 2$\displaystyle \alpha$ + cos 2$\displaystyle \beta$ + cos 2$\displaystyle \gamma$).

При записи последнего равенства мы воспользовались тем, что($\overrightarrow{OA}$,$\overrightarrow{OB}$) = 2Rcos$\angle$AOB= 2Rcos 2$\gamma$и т.д.

Ответ

Ответ задачи отсутствует

Задача

Решение

Ответ

Подтверждение удаления