Задача
ПустьABCD — выпуклый четырехугольник,K,L,Mи N — середины сторонAB,BC,CDи DA. Докажите, что точка пересечения отрезковKMи LNявляется серединой этих отрезков, а также и серединой отрезка, соединяющего середины диагоналей.
Решение
Поместим в вершины четырехугольникаABCDединичные массы. Пусть O — центр масс этой системы точек. Достаточно доказать, что точка Oявляется серединой отрезковKMи LNи серединой отрезка, соединяющего середины диагоналей. Ясно, что K — центр масс точек Aи B,M — центр масс точек Cи D. Поэтому точка Oявляется центром масс точек Kи Mс массами 2, т. е.O — середина отрезкаKM. Аналогично O — середина отрезкаLN. Рассматривая центры масс пар точек (A,C) и (B,D) (т. е. середины диагоналей), получаем, что точка Oявляется серединой отрезка, соединяющего середины диагоналей.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь