Олимпиадные задачи из источника «глава 14. Центр масс»

Доказать, что если многоугольник имеет несколько осей симметрии, то все они пересекаются в одной точке.

Пусть(<i>x</i>₁,<i>y</i>₁,<i>z</i>₁) и(<i>x</i>₂,<i>y</i>₂,<i>z</i>₂) — абсолютные трилинейные координаты точек<i>M</i>и<i>N</i>. Докажите, что<div align="CENTER"> <i>MN</i>² = $\displaystyle {\frac{\cos\alpha}{\sin\beta\sin\gamma}}$(<i>x</i>₁ - <i>x</i>₂)² + $\displaystyle {\frac{\cos\beta}{\sin\gamma\sin\alpha}}$(<i>y</i>₁ - <i>y</i>₂)<sup>2&...

а) Найдите трилинейные координаты вершин треугольника Брокара. б) Найдите трилинейные координаты точки Штейнера (см. задачу <a href="https://mirolimp.ru/tasks/158039">19.55.2</a>).

Докажите, что вписанная окружность касается окружности девяти точек (Фейербах). Найдите трилинейные координаты точки касания.

Докажите, что касательная к вписанной окружности в точке(<i>x</i>₀:<i>y</i>₀:<i>z</i>₀) задается уравнением<div align="CENTER"> $\displaystyle {\frac{x}{\sqrt{x_0}}}$cos$\displaystyle {\frac{\alpha }{2}}$ + $\displaystyle {\frac{y}{\sqrt{y_0}}}$cos$\displaystyle {\frac{\beta }{2}}$ + $\displaystyle {\frac{z}{\sqrt{z_0}}}$cos$\displaystyle {\frac{\gamma }{2}}$ = 0. </div>

а) Докажите, что в трилинейных координатах любая окружность задается уравнением вида<div align="CENTER"> (<i>px</i> + <i>qy</i> + <i>rz</i>)(<i>x</i> sin$\displaystyle \alpha$ + <i>y</i> sin$\displaystyle \beta$ + <i>z</i> sin$\displaystyle \gamma$) = <i>yz</i> sin$\displaystyle \alpha$ + <i>xz</i> sin$\displaystyle \beta$ + <i>xy</i> sin$\displaystyle \gamma$. </div> б) Докажите, что радикальная ось двух окружностей, заданных уравнениями такого вида, задается уравнением<div align="CENTER"> <i>p</i>₁<i>x</i> + <i>q</i>₁<i>y</i> + <i>r</i><...

Найдите уравнение окружности девяти точек в трилинейных координатах.

Найдите уравнения в трилинейных координатах для: а) описанной окружности; б) вписанной окружности; в) вневписанной окружности.

На сторонах треугольника<i>ABC</i>внешним (внутренним) образом построены правильные треугольники<i>ABC</i>₁,<i>AB</i>₁<i>C</i>и<i>A</i>₁<i>BC</i>. Докажите, что прямые<i>AA</i>₁,<i>BB</i>₁и<i>CC</i>₁пересекаются в одной точке. Найдите трилинейные координаты этой точки.

Найдите трилинейные координаты точек Брокара.

На сторонах<i>AD</i>и<i>DC</i>выпуклого четырехугольника<i>ABCD</i>взяты точки<i>P</i>и<i>Q</i>так, что$\angle$<i>ABP</i>=$\angle$<i>CBQ</i>. Отрезки<i>AQ</i>и<i>CP</i>пересекаются в точке<i>E</i>. Докажите, что$\angle$<i>ABE</i>=$\angle$<i>CBD</i>.

Продолжения сторон выпуклого четырехугольника<i>ABCD</i>пересекаются в точках<i>P</i>и<i>Q</i>. Докажите, что точки пересечения биссектрис внешних углов при вершинах<i>A</i>и<i>C</i>,<i>B</i>и<i>D</i>,<i>P</i>и<i>Q</i>лежат на одной прямой.

Пусть<i>d</i>_abи<i>d</i>_ac— расстояния от вершин<i>B</i>и<i>C</i>до прямой<i>l</i>_a, касающейся внешним образом окружностей<i>S</i>_bи<i>S</i>_c(и отличной от прямой<i>BC</i>); числа<i>d</i>_bcи<i>d</i>_ba,<i>d</i>_cbи<i>d</i>_caопределяются аналогично. Докажите, что<i>d</i>_ab<i>d</i>_bc<i>d</i>_ca=<i>d</i>_ac<i&g...

Прямая<i>l</i>касается вневписанной окружности треугольника<i>ABC</i>, касающейся стороны<i>BC</i>. Пусть$\delta_{a}^{}$,$\delta_{b}^{}$,$\delta_{c}^{}$— расстояния от прямой<i>l</i>до точек<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>с учетом знака (расстояние положительно, если точка и центр вневписанной окружности лежат по одну сторону от прямой<i>l</i>; в противном случае расстояние отрциательно). Докажите, что-<i>a</i>$\delta_{a}^{}$+<i>b</i>$\delta_{b}^{}$+<i>c</i>$\delta_{c}^{}$= 2<i>S</i>_ABC.

Прямая<i>l</i>касается вписанной окружности треугольника<i>ABC</i>. Пусть$\delta_{a}^{}$,$\delta_{b}^{}$,$\delta_{c}^{}$— расстояния от прямой<i>l</i>до точек<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>с учетом знака (расстояние положительно, если точка и центр вписанной окружности лежат по одну сторону от прямой<i>l</i>; в противном случае расстояние отрциательно). Докажите, что<i>a</i>$\delta_{a}^{}$+<i>b</i>$\delta_{b}^{}$+<i>c</i>$\delta_{c}^{}$= 2<i>S</i>_ABC.

Прямая<i>l</i>проходит через точку<i>X</i>с барицентрическими координатами($\alpha$:$\beta$:$\gamma$). Пусть<i>d</i>_a,<i>d</i>_b,<i>d</i>_c— расстояния от вершин<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>до прямой<i>l</i>с учетом знака (для точек, лежащих по разные стороны от прямой<i>l</i>, знаки разные). Докажите, что<i>d</i>_a$\alpha$+<i>d</i>_b$\beta$+<i>d</i>_c$\gamma$= 0.

Докажите, что величина<i>S</i>_{$\scriptstyle \omega$}, введенная в задаче <a href="https://mirolimp.ru/tasks/157790">14.41B</a>, обладает следующими свойствами: а)<i>S</i>_A=${\frac{b^2+c^2-a^2}{2}}$,<i>S</i>_B=${\frac{c^2+a^2-b^2}{2}}$,<i>S</i>_C=${\frac{a^2+b^2-c^2}{2}}$. б)<i>S</i>_A+<i>S</i>_B=<i>c</i>²,<i>S</i>_B+<i>S</i>_C=<i>a</i>²,<i>S</i>_C+<i>S</i>_A=<i&...

Пусть($\alpha_{1}^{}$,$\beta_{1}^{}$,$\gamma_{1}^{}$) и($\alpha_{2}^{}$,$\beta_{2}^{}$,$\gamma_{2}^{}$) — абсолютные барицентрические координаты точек<i>M</i>и<i>N</i>. Докажите, что<div align="CENTER"> <i>MN</i>² = <i>S</i>_A($\displaystyle \alpha_{1}^{}$ - $\displaystyle \alpha_{2}^{}$)² + <i>S</i>_B($\displaystyle \beta_{1}^{}$ - $\displaystyle \beta_{2}^{}$)² + <i>S</i>_C($\displaystyle \gamma_{1}^{}$ - $\displaystyle \gamma_{2}^{}$)², </div>где<i>S</i>_{$\scriptstyle \omega$}= 2<i>Sctg</i>$\ome...

На прямых<i>AB</i>,<i>BC</i>,<i>CA</i>даны точки<i>C</i>₁и<i>C</i>₂,<i>A</i>₁и<i>A</i>₂,<i>B</i>₁и<i>B</i>₂. Точки<i>C</i>₁и<i>C</i>₂определяют числа$\gamma_{1}^{}$и$\gamma_{2}^{}$, для которых(1 +$\gamma_{1}^{}$)$\overrightarrow{AC_1}$=$\overrightarrow{AB}$и(1 +$\gamma_{2}^{}$)$\overrightarrow{C_2B}$=$\overrightarrow{AB}$; числа$\alpha_{1}^{}$,$\alpha_{2}^{}$,$\beta_{1}^{}$,$\beta_{2}^{}$определяются аналогично. Докажите, что прямые<i>A</i>₂&lt...

Две прямые заданы в барицентрических координатах уравнениями<i>a</i>₁$\alpha$+<i>b</i>₁$\beta$+<i>c</i>₁$\gamma$= 0 и<i>a</i>₂$\alpha$+<i>b</i>₂$\beta$+<i>c</i>₂$\gamma$= 0. а) Докажите, что точка пересечения этих прямых имеет барицентрические координаты<div align="CENTER"> $\displaystyle \left(\vphantom{\begin{vmatrix}b_1 & c_1 \ b_2 & c_2 \end{vmatr... ..._2 \end{vmatrix}: \begin{vmatrix}a_1 & b_1 \ a_2 & b_2 \end{vmatrix}}\right.$$\displaystyle \begin{vmatrix}b_1 & c_1 \ b_2 & c_2 \end{vmatrix}$ : $\displaystyle \begin{vmatrix}c_1 & a...

а) Докажите, что точки с барицентрическими координатами($\alpha$:$\beta$:$\gamma$) и ($\alpha^{-1}{}$:$\beta^{-1}{}$:$\gamma^{-1}_{}$) изотомически сопряжены относительно треугольника<i>ABC</i>. б) Длины сторон треугольника<i>ABC</i>равны <i>a</i>,<i>b</i>и <i>c</i>. Докажите, что точки с барицентрическими координатами($\alpha$:$\beta$:$\gamma$) и (<i>a</i>²/$\alpha$:<i>b</i>²/$\beta$:<i>c</i>²/$\gamma$) изогонально сопряжены относительно треугольника<i>ABC</i>.

Найдите уравнение описанной окружности треугольника<i>A</i>₁<i>A</i>₂<i>A</i>₃в барицентрических координатах.

Пусть <i>M</i> — центр масс треугольника<i>ABC</i>,<i>X</i> — произвольная точка. На прямых<i>BC</i>,<i>CA</i>и <i>AB</i>взяты точки <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁так, что<i>A</i>₁<i>X</i>|<i>AM</i>,<i>B</i>₁<i>X</i>|<i>BM</i>и <i>C</i>₁<i>X</i>|<i>CM</i>. Докажите, что центр масс <i>M</i>₁треугольника<i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>...

а) Вычислите барицентрические координаты точки Нагеля<i>N</i>. б) Пусть<i>N</i>— точка Нагеля,<i>M</i>— центр масс,<i>I</i>— центр вписанной окружности треугольника<i>ABC</i>. Докажите, что$\overrightarrow{NM}$= 2$\overrightarrow{MI}$; в частности точка<i>N</i>лежит на прямой<i>MI</i>.

Пусть($\alpha$:$\beta$:$\gamma$) — абсолютные барицентрические координаты точки <i>X</i>;<i>M</i> — центр масс треугольника<i>ABC</i>. Докажите, что3$\overrightarrow{XM}$= ($\alpha$-$\beta$)$\overrightarrow{AB}$+ ($\beta$-$\gamma$)$\overrightarrow{BC}$+ ($\gamma$-$\alpha$)$\overrightarrow{CA}$.