Задача
Докажите, что величинаS$\scriptstyle \omega$, введенная в задаче 14.41B, обладает следующими свойствами: а)SA=${\frac{b^2+c^2-a^2}{2}}$,SB=${\frac{c^2+a^2-b^2}{2}}$,SC=${\frac{a^2+b^2-c^2}{2}}$. б)SA+SB=c2,SB+SC=a2,SC+SA=b2. в)SA+SB+SC=S$\scriptstyle \varphi$, где$\varphi$— угол Брокара. г)SASB+SBSC+SCSA= 4S2. д)SASBSC= 4S2S$\scriptstyle \varphi$- (abc)2.
Решение
а) Согласно теореме косинусовcos A=${\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}}$, поэтому2SctgA=bccos A=${\frac{b^2+c^2-a^2}{2}}$. б) Очевидно следует из а). в) Согласно задаче 5.117ctgA+ctgB+ctgC=ctg$\varphi$. г) Легко проверить, что4(SASB+SBSC+SCSA) = 2(a2b2+b2c2+c2a2) -a4-b4-c4. Равенство16S2= 2(a2b2+b2c2+c2a2) -a4-b4-c4следует из формулы Герона. д) Согласно задаче 12.44 а)S$\scriptstyle \varphi$=${\frac{a^2+b^2+c^2}{2}}$. Таким образом, наша задача сводится к проверке тождества
| (b2 + c2 - a2)(c2 + a2 - b2)(a2 + b2 - c2) - 8a2b2c2 = | ||
| = $\displaystyle \bigl($2(a2b2 + b2c2 + c2a2) - a4 - b4 - c4$\displaystyle \bigr)$(a2 + b2 + c2). |
Это тождество легко проверяется.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь