Задачи и олимпиады по математике

Задача

На прямыхAB,BC,CAданы точкиC₁иC₂,A₁иA₂,B₁иB₂. ТочкиC₁иC₂определяют числа$\gamma_{1}^{}$и$\gamma_{2}^{}$, для которых(1 +$\gamma_{1}^{}$)$\overrightarrow{AC_1}$=$\overrightarrow{AB}$и(1 +$\gamma_{2}^{}$)$\overrightarrow{C_2B}$=$\overrightarrow{AB}$; числа$\alpha_{1}^{}$,$\alpha_{2}^{}$,$\beta_{1}^{}$,$\beta_{2}^{}$определяются аналогично. Докажите, что прямыеA₂B₁,B₂C₁иC₂A₁пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда

$\displaystyle \alpha_{1}^{}$$\displaystyle \beta_{1}^{}$$\displaystyle \gamma_{1}^{}$ + $\displaystyle \alpha_{2}^{}$$\displaystyle \beta_{2}^{}$$\displaystyle \gamma_{2}^{}$ + $\displaystyle \alpha_{1}^{}$$\displaystyle \alpha_{2}^{}$ + $\displaystyle \beta_{1}^{}$$\displaystyle \beta_{2}^{}$ + $\displaystyle \gamma_{1}^{}$$\displaystyle \gamma_{2}^{}$ = 1.

Замечание. При$\alpha_{2}^{}$=$\beta_{2}^{}$=$\gamma_{2}^{}$= 0 точкиA₂,B₂,C₂совпадают сB,C,A; в этом случае получаем теорему Чевы. При$\alpha_{1}^{}$$\alpha_{2}^{}$=$\beta_{1}^{}$$\beta_{2}^{}$=$\gamma_{1}^{}$$\gamma_{2}^{}$= 1 совпадают точкиA₁иA₂,B₁иB₂,C₁иC₂. (Действительно, совпадение точекA₁иA₂эквивалентно тому, что${\frac{1}{\alpha_1}}$+${\frac{1}{\alpha_2}}$= 1; это равенство эквивалентно равенству$\alpha_{1}^{}$$\alpha_{2}^{}$= 1.) ПрямыеA₁B₁,B₁C₁иC₁A₁пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда они совпадают. В этом случае получаем теорему Менелая.

Решение

ТочкиA₂иB₁имеют барицентрические координаты(0 : 1 :$\alpha_{2}^{}$) и(1 : 0 :$\beta_{1}^{}$), поэтому в барицентрических координатах($\alpha$:$\beta$:$\gamma$) прямаяA₂B₁задается уравнением$\alpha$$\beta_{1}^{}$+$\beta$$\alpha_{2}^{}$=$\gamma$. ПрямыеB₂C₁иC₂A₁задаются уравнениями$\beta$$\gamma_{1}^{}$+$\gamma$$\beta_{2}^{}$=$\alpha$и$\gamma$$\alpha_{1}^{}$+$\alpha$$\gamma_{2}^{}$=$\beta$. Эти прямые пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда

$\displaystyle \begin{vmatrix} \phantom-\beta_1&\phantom-\alpha_2&-1\ \vspace... ...a_2\ \vspace{1\relax } \phantom-\gamma_2&-1&\phantom-\alpha_1 \end{vmatrix}$

Ответ

Ответ задачи отсутствует

Задача

Решение

Ответ

Подтверждение удаления