Задача
Докажите, что вписанная окружность касается окружности девяти точек (Фейербах). Найдите трилинейные координаты точки касания.
Решение
Уравнение вписанной окружности можно записать в виде
$\displaystyle \left(\vphantom{x\frac{\cos^4\frac{\alpha}{2}}{\sin\alpha}+\ldots}\right.$x$\displaystyle {\frac{\cos^4\frac{\alpha}{2}}{\sin\alpha}}$ +...$\displaystyle \left.\vphantom{x\frac{\cos^4\frac{\alpha}{2}}{\sin\alpha}+\ldots}\right)$(x sin$\displaystyle \alpha$ +...) = $\displaystyle {\frac{4\cos^2\frac{\alpha}{2}\cos^2\frac{\beta}{2}\cos^2\frac{\gamma}{2}}{\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma}}$(yz sin$\displaystyle \alpha$ +...),
а уравнение окружности девяти точек можно записать в виде(xcos$\alpha$+...)×(xsin$\alpha$+...) = 2(yzsin$\alpha$+...).
Поэтому согласно задаче 14.44, б) их радикальная ось задается
уравнением
2 cos2$\displaystyle {\frac{\alpha }{2}}$cos2$\displaystyle {\frac{\beta }{2}}$cos2$\displaystyle {\frac{\gamma }{2}}$(x cos$\displaystyle \alpha$ +...) = sin$\displaystyle \alpha$sin$\displaystyle \beta$sin$\displaystyle \gamma$$\displaystyle \left(\vphantom{x\frac{\cos^4\frac{\alpha}{2}}{\sin\alpha}+\ldots}\right.$x$\displaystyle {\frac{\cos^4\frac{\alpha}{2}}{\sin\alpha}}$ +...$\displaystyle \left.\vphantom{x\frac{\cos^4\frac{\alpha}{2}}{\sin\alpha}+\ldots}\right)$.
Сократим обе части на2 cos${\frac{\alpha }{2}}$cos${\frac{\beta}{2}}$cos${\frac{\gamma}{2}}$.
Учитывая, что
2 cos3$\displaystyle {\frac{\alpha }{2}}$cos$\displaystyle {\frac{\beta }{2}}$cos$\displaystyle {\frac{\gamma }{2}}$ - cos$\displaystyle {\frac{\alpha }{2}}$cos$\displaystyle {\frac{\beta }{2}}$cos$\displaystyle {\frac{\gamma }{2}}$cos$\displaystyle \alpha$ = cos$\displaystyle {\frac{\alpha }{2}}$sin$\displaystyle {\frac{\alpha -\beta }{2}}$sin$\displaystyle {\frac{\alpha -\gamma }{2}}$,
полученное уравнение можно записать в виде
$\displaystyle {\frac{x\cos\frac{\alpha}{2}}{\sin\frac{\beta-\gamma}{2}}}$ + $\displaystyle {\frac{y\cos\frac{\beta}{2}}{\sin\frac{\alpha-\gamma}{2}}}$ + $\displaystyle {\frac{z\cos\frac{\gamma}{2}}{\sin\frac{\alpha-\beta}{2}}}$ = 0.
Согласно задаче 14.45это уравнение является уравнением касательной к
вписанной окружности в точке(sin2${\frac{\beta-\gamma}{2}}$: sin2${\frac{\alpha-\gamma}{2}}$: sin2${\frac{\alpha-\beta}{2}}$)
(Легко проверить, что эта точка действительно лежит на вписанной
окружности.) Если радикальная ось двух окружностей касается
одной из них в некоторой точке, то окружности касаются в той же
самой точке.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет