Задачи и олимпиады по математике

Задача

а) Докажите, что в трилинейных координатах любая окружность задается уравнением вида

(px + qy + rz)(x sin$\displaystyle \alpha$ + y sin$\displaystyle \beta$ + z sin$\displaystyle \gamma$) = yz sin$\displaystyle \alpha$ + xz sin$\displaystyle \beta$ + xy sin$\displaystyle \gamma$.

б) Докажите, что радикальная ось двух окружностей, заданных уравнениями такого вида, задается уравнением

p₁x + q₁y + r₁z = p₂x + q₂y + r₂z.

Решение

Уравнениеyzsin$\alpha$+xzsin$\beta$+xysin$\gamma$= 0 задает описанную окружность треугольника. В декартовых координатах уравнение любой окружности можно получить, вычтя из уравнения фиксированной окружности некоторую линейную функцию. В трилинейных координатах для сохранения однородности к линейную функциюкpx+qy+rzнужно домножить на к постоянную величинукxsin$\alpha$+ysin$\beta$+zsin$\gamma$(эта величина будет постоянной, еслиx,y,z — абсолютные трилинейные координаты). б) Согласно задаче 3.52в декартовых координатах степень точки (x₀,y₀) относительно окружности(x-a)²+ (y-b)²=R²равна(x₀-a)²+ (y₀-b)²-R². Поэтому радикальная ось окружностей, заданных (в декартовых координатах) уравнениямиx²+y²+P₁x+Q₁y+R₁= 0 иx²+y²+P₂x+Q₂y+R₂= 0, задается уравнениемP₁x+Q₁y+R₁=P₂x+Q₂y+R₂. То же самое верно и для линейных функций, добавленных к фиксированному уравнению окружности.

Ответ

Ответ задачи отсутствует

Задача

Решение

Ответ

Подтверждение удаления