Задача
На сторонах треугольникаABCвнешним (внутренним) образом построены правильные треугольникиABC1,AB1CиA1BC. Докажите, что прямыеAA1,BB1иCC1пересекаются в одной точке. Найдите трилинейные координаты этой точки.
Решение
ТочкаC1имеет трилинейные координаты
$\displaystyle \left(\vphantom{\sin\left(\beta\pm\frac{\pi}{3}\right):
\sin\left(\alpha\pm\frac{\pi}{3}\right):
\mp\sin\frac{\pi}{3}}\right.$sin$\displaystyle \left(\vphantom{\beta\pm\frac{\pi}{3}}\right.$$\displaystyle \beta$±$\displaystyle {\frac{\pi}{3}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\beta\pm\frac{\pi}{3}}\right)$ : sin$\displaystyle \left(\vphantom{\alpha\pm\frac{\pi}{3}}\right.$$\displaystyle \alpha$±$\displaystyle {\frac{\pi}{3}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\alpha\pm\frac{\pi}{3}}\right)$ : $\displaystyle \mp$sin$\displaystyle {\frac{\pi}{3}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\sin\left(\beta\pm\frac{\pi}{3}\right):
\sin\left(\alpha\pm\frac{\pi}{3}\right):
\mp\sin\frac{\pi}{3}}\right)$,
где верхний знак соответствует треугольникам, построенным внешним образом, а
нижний — внутренним. Поэтому прямаяCC1задается уравнениемxsin$\left(\vphantom{\alpha\pm\frac{\pi}{3}}\right.$$\alpha$±${\frac{\pi}{3}}$$\left.\vphantom{\alpha\pm\frac{\pi}{3}}\right)$=ysin$\left(\vphantom{\beta\pm\frac{\pi}{3}}\right.$$\beta$±${\frac{\pi}{3}}$$\left.\vphantom{\beta\pm\frac{\pi}{3}}\right)$.
Таким образом, точка с трилинейными координатами
$\displaystyle \left(\vphantom{
\frac{1}{\sin\left(\alpha\pm\frac{\pi}{3}\right...
...c{\pi}{3}\right)}:
\frac{1}{\sin\left(\gamma\pm\frac{\pi}{3}\right)}
}\right.$$\displaystyle {\frac{1}{\sin\left(\alpha\pm\frac{\pi}{3}\right)}}$ : $\displaystyle {\frac{1}{\sin\left(\beta\pm\frac{\pi}{3}\right)}}$ : $\displaystyle {\frac{1}{\sin\left(\gamma\pm\frac{\pi}{3}\right)}}$$\displaystyle \left.\vphantom{
\frac{1}{\sin\left(\alpha\pm\frac{\pi}{3}\right...
...c{\pi}{3}\right)}:
\frac{1}{\sin\left(\gamma\pm\frac{\pi}{3}\right)}
}\right)$
является точкой пересечения прямыхAA1,BB1иCC1.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет