Задача
Пусть M — центр масс треугольникаABC,X — произвольная точка. На прямыхBC,CAи ABвзяты точки A1,B1и C1так, чтоA1X|AM,B1X|BMи C1X|CM. Докажите, что центр масс M1треугольникаA1B1C1совпадает с серединой отрезкаMX.
Решение
Пусть прямые, проходящие через точку XпараллельноACи BC, пересекают прямуюABв точках Kи Lсоответственно. Если($\alpha$:$\beta$:$\gamma$) — барицентрические координаты точки X, причем$\alpha$+$\beta$+$\gamma$= 1, то2$\overrightarrow{XC_1}$=$\overrightarrow{XK}$+$\overrightarrow{XL}$=$\gamma$$\overrightarrow{CA}$+$\gamma$$\overrightarrow{CB}$(см. решение задачи 14.32). Поэтому3$\overrightarrow{XM_1}$=$\overrightarrow{XA_1}$+$\overrightarrow{XB_1}$+$\overrightarrow{XC_1}$= ($\alpha$($\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$) +$\beta$($\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{BC}$) +$\gamma$($\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CB}$))/2 = 3$\overrightarrow{XM}$/2 (см. задачу 14.35).
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь