Задача
Пусть(x1,y1,z1) и(x2,y2,z2) — абсолютные трилинейные координаты точекMиN. Докажите, что
MN2 = $\displaystyle {\frac{\cos\alpha}{\sin\beta\sin\gamma}}$(x1 - x2)2 + $\displaystyle {\frac{\cos\beta}{\sin\gamma\sin\alpha}}$(y1 - y2)2 + $\displaystyle {\frac{\cos\gamma}{\sin\alpha\sin\beta}}$(z1 - z2)2.
Решение
Введем прямоугольную систему координатOuv, направив осьuпо лучуBCи выбрав направление осиvтак, чтобы точкаAимела положительную координатуv. Тогда прямоугольные координаты (u,v) и трилинейные координаты (x,y,z) связаны следующим образом:v=xиu=${\frac{x\cos\beta+z}{\sin\beta}}$. Ясно также, чтоxa+yb+zc= 2S, т.е.y=${\frac{2S-xa-zc}{b}}$. Пусть (u1,v1) и (u2,v2) — кординаты точекMиN. Тогда
| MN2 | = (u1 - u2)2 + (v1 - v2)2 = | |
| = (x1 - x2)2$\displaystyle {\frac{\cos^2\beta}{\sin^2\beta}}$ + 2(x1 - x2)(z1 - z2)$\displaystyle {\frac{\cos\beta}{\sin^2\beta}}$ + $\displaystyle {\frac{(z_1-z_2)^2}{\sin^2\beta}}$ + (x1 - x2)2 = | ||
| = $\displaystyle {\frac{(x_1-x_2)^2}{\sin^2\beta}}$ + $\displaystyle {\frac{(z_1-z_2)^2}{\sin^2\beta}}$ + 2(x1 - x2)(z1 - z2)$\displaystyle {\frac{\cos\beta}{\sin^2\beta}}$. |
Если воспользоваться тем, что(y1-y2)2=$\left(\vphantom{(x_1-x_2)\frac{a}{b}+(z_1-z_2)\frac{z}{b}}\right.$(x1-x2)${\frac{a}{b}}$+ (z1-z2)${\frac{z}{b}}$$\left.\vphantom{(x_1-x_2)\frac{a}{b}+(z_1-z_2)\frac{z}{b}}\right)^{2}_{}$, то требуемое равенство можно преобразовать в полученное равенство; по ходу преобразований нужно воспользоваться тем, чтоa/b= sin$\alpha$/sin$\beta$и$\alpha$+$\beta$+$\gamma$=$\pi$.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет