Задача
Продолжения сторон выпуклого четырехугольникаABCDпересекаются в точкахPиQ. Докажите, что точки пересечения биссектрис внешних углов при вершинахAиC,BиD,PиQлежат на одной прямой.
Решение
Рассмотрим прямыеl1=AB,l2=BC,l3=CDиl4=AD. Пустьxi — расстояние от точкиXдо прямойliс учетом знака (если точкаXи четырехугольникABCDлежат по одну сторону от прямойli, то знак положителен). Таким образом,(x1:x2:x3) — трилинейные координаты точкиXотносительно треугольника, образованного прямымиl1,l2,l3. Биссектрисы внешних углов при вершинахAиCзадаются уравнениямиx1+x4= 0 иx2+x3= 0; при вершинахBиD — уравнениямиx1+x2= 0 иx3+x4= 0; при вершинахPиQ — уравнениямиx1+x3= 0 иx2+x4= 0. Поэтому остается лишь проверить, что уравнениеx1+x2+x3+x4= 0 задает прямую. Если в прямоугольной системе координат прямаяliзадается уравнениемxcos$\varphi$+ysin$\varphi$=d, тоxi= ±(xcos$\varphi$+ysin$\varphi$-d). Поэтомуx1,x2,x3,x4линейно выражаются черезxиy.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь