Олимпиадные задачи из источника «глава 14. Центр масс» - сложность 3 с решениями
Доказать, что если многоугольник имеет несколько осей симметрии, то все они пересекаются в одной точке.
Пусть($\alpha$:$\beta$:$\gamma$) — абсолютные барицентрические координаты точки <i>X</i>;<i>M</i> — центр масс треугольника<i>ABC</i>. Докажите, что3$\overrightarrow{XM}$= ($\alpha$-$\beta$)$\overrightarrow{AB}$+ ($\beta$-$\gamma$)$\overrightarrow{BC}$+ ($\gamma$-$\alpha$)$\overrightarrow{CA}$.
Относительно треугольника<i>ABC</i>точка <i>X</i>имеет абсолютные барицентрические координаты($\alpha$:$\beta$:$\gamma$). Докажите, что$\overrightarrow{XA}$=$\beta$$\overrightarrow{BA}$+$\gamma$$\overrightarrow{CA}$.
Найдите барицентрические координаты а) центра описанной окружности; б) центра вписанной окружности; в) ортоцентра треугольника.
Центрально симметричная фигура на клетчатой бумаге состоит из <i>n</i>"уголков" и <i>k</i>прямоугольников размером 1×4, изображенных на рис. Докажите, что <i>n</i>четно. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/57775/problem_57775_img_2.gif" border="1"></div>
Хорды<i>AA</i><sub>1</sub>,<i>BB</i><sub>1</sub>и <i>CC</i><sub>1</sub>окружности с центром <i>O</i>пересекаются в точке <i>X</i>. Докажите, что(<i>AX</i>/<i>XA</i><sub>1</sub>) + (<i>BX</i>/<i>XB</i><sub>1</sub>) + (<i>CX</i>/<i>XC</i><sub>1</sub>) = 3 тогда и только тогда, когда точка <i>X</i>лежит на окружности с диаметром<i>OM</i>, где <i>M</i> — центр масс треугольника<i>ABC</i>.
Пусть <i>O</i> — центр описанной окружности треугольника<i>ABC</i>,<i>H</i> — точка пересечения высот. Докажите, что<i>a</i><sup>2</sup>+<i>b</i><sup>2</sup>+<i>c</i><sup>2</sup>= 9<i>R</i><sup>2</sup>-<i>OH</i><sup>2</sup>.
а) Треугольник<i>ABC</i>правильный. Найдите геометрическое место таких точек <i>X</i>, что<i>AX</i><sup>2</sup>=<i>BX</i><sup>2</sup>+<i>CX</i><sup>2</sup>. б) Докажите, что для точек указанного ГМТ подерный треугольник относительно треугольника<i>ABC</i>прямоугольный.
Докажите теорему Чевы (задача <a href="https://mirolimp.ru/tasks/156799">4.48</a>, б)) с помощью группировки масс.
Пусть<i>ABCD</i> — выпуклый четырехугольник,<i>K</i>,<i>L</i>,<i>M</i>и <i>N</i> — середины сторон<i>AB</i>,<i>BC</i>,<i>CD</i>и <i>DA</i>. Докажите, что точка пересечения отрезков<i>KM</i>и <i>LN</i>является серединой этих отрезков, а также и серединой отрезка, соединяющего середины диагоналей.