Олимпиадные задачи из источника «глава 14. Центр масс» - сложность 1-3 с решениями

Доказать, что если многоугольник имеет несколько осей симметрии, то все они пересекаются в одной точке.

Пусть($\alpha$:$\beta$:$\gamma$) — абсолютные барицентрические координаты точки <i>X</i>;<i>M</i> — центр масс треугольника<i>ABC</i>. Докажите, что3$\overrightarrow{XM}$= ($\alpha$-$\beta$)$\overrightarrow{AB}$+ ($\beta$-$\gamma$)$\overrightarrow{BC}$+ ($\gamma$-$\alpha$)$\overrightarrow{CA}$.

Относительно треугольника<i>ABC</i>точка <i>X</i>имеет абсолютные барицентрические координаты($\alpha$:$\beta$:$\gamma$). Докажите, что$\overrightarrow{XA}$=$\beta$$\overrightarrow{BA}$+$\gamma$$\overrightarrow{CA}$.

Найдите барицентрические координаты а) центра описанной окружности; б) центра вписанной окружности; в) ортоцентра треугольника.

Точка <i>X</i>лежит внутри треугольника<i>ABC</i>. Прямые, проходящие через точку <i>X</i>параллельно<i>AC</i>и <i>BC</i>, пересекают сторону<i>AB</i>в точках <i>K</i>и <i>L</i>соответственно. Докажите, что барицентрические координаты точки <i>X</i>равны(<i>BL</i>:<i>AK</i>:<i>LK</i>).

Докажите, что барицентрические координаты точки <i>X</i>, лежащей внутри треугольника<i>ABC</i>, равны(<i>S</i>_BCX:<i>S</i>_CAX:<i>S</i>_ABX).

Пусть задан треугольник<i>A</i>₁<i>A</i>₂<i>A</i>₃. Докажите, что: а) любая точка <i>X</i>имеет некоторые барицентрические координаты относительно него; б) при условии<i>m</i>₁+<i>m</i>₂+<i>m</i>₃= 1 барицентрические координаты точки <i>X</i>определены однозначно.

Центрально симметричная фигура на клетчатой бумаге состоит из <i>n</i>"уголков" и <i>k</i>прямоугольников размером 1×4, изображенных на рис. Докажите, что <i>n</i>четно. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/57775/problem_57775_img_2.gif" border="1"></div>

Хорды<i>AA</i>₁,<i>BB</i>₁и <i>CC</i>₁окружности с центром <i>O</i>пересекаются в точке <i>X</i>. Докажите, что(<i>AX</i>/<i>XA</i>₁) + (<i>BX</i>/<i>XB</i>₁) + (<i>CX</i>/<i>XC</i>₁) = 3 тогда и только тогда, когда точка <i>X</i>лежит на окружности с диаметром<i>OM</i>, где <i>M</i> — центр масс треугольника<i>ABC</i>.

Пусть <i>O</i> — центр описанной окружности треугольника<i>ABC</i>,<i>H</i> — точка пересечения высот. Докажите, что<i>a</i>²+<i>b</i>²+<i>c</i>²= 9<i>R</i>²-<i>OH</i>².

а) Треугольник<i>ABC</i>правильный. Найдите геометрическое место таких точек <i>X</i>, что<i>AX</i>²=<i>BX</i>²+<i>CX</i>². б) Докажите, что для точек указанного ГМТ подерный треугольник относительно треугольника<i>ABC</i>прямоугольный.

а) Докажите, что момент инерции относительно центра масс системы точек с единичными массами равен${\frac{1}{n}}$$\sum\limits_{i<j}^{}$<i>a</i>_ij², где <i>n</i> — число точек,<i>a</i>_ij — расстояние между точками с номерами <i>i</i>и <i>j</i>. б) Докажите, что момент инерции относительно центра масс системы точек с массами<i>m</i>₁,...,<i>m</i>_n, равен${\frac{1}{m}}$$\sum\limits_{i<j}^{}$<i>m</i>_i<i>m</i>_j<i>a</i>_ij², где<i>m</i>=<i>m</i>&l...

Пусть <i>O</i> — центр масс системы точек, суммарная масса которой равна <i>m</i>. Докажите, что моменты инерции этой системы относительно точки <i>O</i>и произвольной точки <i>X</i>связаны соотношением<i>I</i>_X=<i>I</i>_O+<i>mXO</i>².

Докажите теорему Чевы (задача <a href="https://mirolimp.ru/tasks/156799">4.48</a>, б)) с помощью группировки масс.

Пусть<i>A</i>₁,<i>B</i>₁,...,<i>F</i>₁ — середины сторон<i>AB</i>,<i>BC</i>,...,<i>FA</i>произвольного шестиугольника. Докажите, что точки пересечения медиан треугольников<i>A</i>₁<i>C</i>₁<i>E</i>₁и <i>B</i>₁<i>D</i>₁<i>F</i>₁совпадают.

Пусть<i>ABCD</i> — выпуклый четырехугольник,<i>K</i>,<i>L</i>,<i>M</i>и <i>N</i> — середины сторон<i>AB</i>,<i>BC</i>,<i>CD</i>и <i>DA</i>. Докажите, что точка пересечения отрезков<i>KM</i>и <i>LN</i>является серединой этих отрезков, а также и серединой отрезка, соединяющего середины диагоналей.

Докажите, что медианы треугольника<i>ABC</i>пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2 : 1, считая от вершины.

Докажите, что центр масс точек <i>A</i>и <i>B</i>с массами <i>a</i>и <i>b</i>лежит на отрезке<i>AB</i>и делит его в отношении<i>b</i>:<i>a</i>.

Докажите, что центр масс системы точек<i>X</i>₁,...,<i>X</i>_n,<i>Y</i>₁,...,<i>Y</i>_mс массами<i>a</i>₁,...,<i>a</i>_n,<i>b</i>₁,...,<i>b</i>_mсовпадает с центром масс двух точек — центра масс <i>X</i>первой системы с массой<i>a</i>₁+...+<i>a</i>_nи центра масс <i>Y</i>второй системы с массой<i>b</i>₁+...+<i>b</i>_m.

а) Докажите, что центр масс существует и единствен для любой системы точек. б) Докажите, что если <i>X</i> — произвольная точка, а <i>O</i> — центр масс точек<i>X</i>₁,...,<i>X</i>_nс массами<i>m</i>₁,...,<i>m</i>_n, то$\overrightarrow{XO}$=${\frac{1}{m_1+\ldots+m_n}}$(<i>m</i>₁$\overrightarrow{XX_1}$+...+<i>m</i>_n$\overrightarrow{XX_n}$).