Задачи и олимпиады по математике

Задачи Подборки Авторы

Задача 157769 • Сложность: 3 • 9 класс

Задача

ХордыAA₁,BB₁и CC₁окружности с центром Oпересекаются в точке X. Докажите, что(AX/XA₁) + (BX/XB₁) + (CX/XC₁) = 3 тогда и только тогда, когда точка Xлежит на окружности с диаметромOM, где M — центр масс треугольникаABC.

Решение

Ясно, чтоAX/XA₁=AX²/AX^.XA₁=AX²/(R²-OX²). Поэтому нужно проверить, чтоAX²+BX²+CX²= 3(R²-OX²) тогда и только тогда, когдаOM²=OX²+MX². Для этого достаточно заметить, чтоAX²+BX²+CX²=I_X=I_M+ 3MX²=I_O- 3MO²+ 3MX²= 3(R²-MO²+MX²).

Ответ

Ответ задачи отсутствует

Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь

Войти Зарегистрироваться

Комментариев нет

Задача

Решение

Ответ

Подтверждение удаления