Олимпиадные задачи из источника «параграф 3. Момент инерции»

Точки<i>A</i>₁,...,<i>A</i>_nлежат на одной окружности, а <i>M</i> — их центр масс. Прямые<i>MA</i>₁,...,<i>MA</i>_nпересекают эту окружность в точках<i>B</i>₁,...,<i>B</i>_n(отличных от<i>A</i>₁,...,<i>A</i>_n). Докажите, что<i>MA</i>₁+...+<i>MA</i>_n$\le$<i>MB</i>₁+...+<i>MB</i>_n.

Внутри треугольника<i>ABC</i>взята точка <i>P</i>. Пусть <i>d</i>_a,<i>d</i>_bи <i>d</i>_c — расстояния от точки <i>P</i>до сторон треугольника,<i>R</i>_a,<i>R</i>_bи <i>R</i>_c — расстояния от нее до вершин. Докажите, что<div align="CENTER"> 3(<i>d</i>_a² + <i>d</i>_b² + <i>d</i>_c²)$\displaystyle \ge$(<i>R</i>_asin <i>A</i>...

Внутри окружности радиуса <i>R</i>расположено <i>n</i>точек. Докажите, что сумма квадратов попарных расстояний между ними не превосходит<i>n</i>²<i>R</i>².

На сторонах<i>AB</i>,<i>BC</i>,<i>CA</i>треугольника<i>ABC</i>взяты такие точки <i>A</i>₁и <i>B</i>₂,<i>B</i>₁и <i>C</i>₂,<i>C</i>₁и <i>A</i>₂, что отрезки<i>A</i>₁<i>A</i>₂,<i>B</i>₁<i>B</i>₂и <i>C</i>₁<i>C</i>₂параллельны сторонам треугольника и пересекаются в точке <i>P</i>. Докажите, что<i>PA</i><sub...

Хорды<i>AA</i>₁,<i>BB</i>₁и <i>CC</i>₁окружности с центром <i>O</i>пересекаются в точке <i>X</i>. Докажите, что(<i>AX</i>/<i>XA</i>₁) + (<i>BX</i>/<i>XB</i>₁) + (<i>CX</i>/<i>XC</i>₁) = 3 тогда и только тогда, когда точка <i>X</i>лежит на окружности с диаметром<i>OM</i>, где <i>M</i> — центр масс треугольника<i>ABC</i>.

Пусть <i>O</i> — центр описанной окружности треугольника<i>ABC</i>,<i>H</i> — точка пересечения высот. Докажите, что<i>a</i>²+<i>b</i>²+<i>c</i>²= 9<i>R</i>²-<i>OH</i>².

а) Треугольник<i>ABC</i>правильный. Найдите геометрическое место таких точек <i>X</i>, что<i>AX</i>²=<i>BX</i>²+<i>CX</i>². б) Докажите, что для точек указанного ГМТ подерный треугольник относительно треугольника<i>ABC</i>прямоугольный.

а) Докажите, что момент инерции относительно центра масс системы точек с единичными массами равен${\frac{1}{n}}$$\sum\limits_{i<j}^{}$<i>a</i>_ij², где <i>n</i> — число точек,<i>a</i>_ij — расстояние между точками с номерами <i>i</i>и <i>j</i>. б) Докажите, что момент инерции относительно центра масс системы точек с массами<i>m</i>₁,...,<i>m</i>_n, равен${\frac{1}{m}}$$\sum\limits_{i<j}^{}$<i>m</i>_i<i>m</i>_j<i>a</i>_ij², где<i>m</i>=<i>m</i>&l...

Пусть <i>O</i> — центр масс системы точек, суммарная масса которой равна <i>m</i>. Докажите, что моменты инерции этой системы относительно точки <i>O</i>и произвольной точки <i>X</i>связаны соотношением<i>I</i>_X=<i>I</i>_O+<i>mXO</i>².