Назад
Задача 157772 • Сложность: 4 • 9 класс
Задача

Внутри треугольникаABCвзята точка P. Пусть da,dbи dc — расстояния от точки Pдо сторон треугольника,Ra,Rbи Rc — расстояния от нее до вершин. Докажите, что

3(da2 + db2 + dc2)$\displaystyle \ge$(Rasin A)2 + (Rbsin B)2 + (Rcsin C)2.

Разделы:
Комбинаторная геометрия
Источники:
Прасолов В.В., Задачи по планиметрии глава 14. Центр масс параграф 3. Момент инерции Книги, журналы
Количество версий:
2
Решение

Пусть A1,B1и C1 — проекции точки Pна стороныBC,CAи AB;M — центр масс треугольникаA1B1C1. Тогда3(da2+db2+dc2) = 3IP$\ge$3IM=A1B12+B1C12+C1A12= (Rcsin C)2+ (Rasin A)2+ (Rbsin B)2, так как, например, отрезокA1B1является хордой окружности с диаметромCP.

Ответ

Ответ задачи отсутствует

Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь

Войти Зарегистрироваться
Комментариев нет