Пусть O — центр данной окружности. Если хордаABпроходит через точку M, тоAM ^. BM=R²-d², гдеd=MO. Обозначим через I_Xмомент инерции системы точекA₁,...,A_nотносительно точки X. ТогдаI_O=I_M+nd²(см. задачу 14.17). С другой стороны, так какOA_i=R, тоI_O=nR². ПоэтомуA_iM ^. B_iM=R²-d²=${\frac{1}{n}}$(A₁M²+...+A_nM²). Таким образом, если ввести обозначениеa_i=A_iM, то требуемое неравенство перепишется в видеa₁+...+a_n$\le$${\frac{1}{n}}$(a₁²+...+a_n²)$\Bigl($${\frac{1}{a_1}}$+...+${\frac{1}{a_n}}$$\Bigr)$. Для доказательства этого неравенства следует воспользоваться неравенствомx+y$\le$(x²/y) + (y²/x) (последнее неравенство получается из неравенстваxy$\le$x²-xy+y²умножением обеих частей на${\frac{x+y}{xy}}$).

Ответ задачи отсутствует