Задача
На сторонахAB,BC,CAтреугольникаABCвзяты такие точки A1и B2,B1и C2,C1и A2, что отрезкиA1A2,B1B2и C1C2параллельны сторонам треугольника и пересекаются в точке P. Докажите, чтоPA1 . PA2+PB1 . PB2+PC1 . PC2=R2-OP2, где O — центр описанной окружности.
Решение
Пусть P — центр масс точек A,Bи Cс массами $\alpha$,$\beta$и $\gamma$; можно считать, что$\alpha$+$\beta$+$\gamma$= 1. Если K — точка пересечения прямыхCPи AB, то
$\displaystyle {\frac{BC}{PA_1}}$ = $\displaystyle {\frac{CK}{PK}}$ = $\displaystyle {\frac{CP+PK}{PK}}$ = 1 + $\displaystyle {\frac{CP}{PK}}$ = 1 + $\displaystyle {\frac{\alpha +\beta }{\gamma }}$ = $\displaystyle {\frac{1}{\gamma }}$.
Аналогичные рассуждения показывают, что рассматриваемая величина
равна$\beta$$\gamma$a2+$\gamma$$\alpha$b2+$\alpha$$\beta$c2=IP(см. задачу 14.18, б)).
А так какIO=$\alpha$R2+$\beta$R2+$\gamma$R2=R2, тоIP=IO-OP2=R2-OP2.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет