Олимпиадные задачи из источника «глава 14. Центр масс» - сложность 3-4 с решениями

Доказать, что если многоугольник имеет несколько осей симметрии, то все они пересекаются в одной точке.

Найдите трилинейные координаты точек Брокара.

Найдите уравнение описанной окружности треугольника<i>A</i>₁<i>A</i>₂<i>A</i>₃в барицентрических координатах.

Пусть <i>M</i> — центр масс треугольника<i>ABC</i>,<i>X</i> — произвольная точка. На прямых<i>BC</i>,<i>CA</i>и <i>AB</i>взяты точки <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁так, что<i>A</i>₁<i>X</i>|<i>AM</i>,<i>B</i>₁<i>X</i>|<i>BM</i>и <i>C</i>₁<i>X</i>|<i>CM</i>. Докажите, что центр масс <i>M</i>₁треугольника<i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>...

а) Вычислите барицентрические координаты точки Нагеля<i>N</i>. б) Пусть<i>N</i>— точка Нагеля,<i>M</i>— центр масс,<i>I</i>— центр вписанной окружности треугольника<i>ABC</i>. Докажите, что$\overrightarrow{NM}$= 2$\overrightarrow{MI}$; в частности точка<i>N</i>лежит на прямой<i>MI</i>.

Пусть($\alpha$:$\beta$:$\gamma$) — абсолютные барицентрические координаты точки <i>X</i>;<i>M</i> — центр масс треугольника<i>ABC</i>. Докажите, что3$\overrightarrow{XM}$= ($\alpha$-$\beta$)$\overrightarrow{AB}$+ ($\beta$-$\gamma$)$\overrightarrow{BC}$+ ($\gamma$-$\alpha$)$\overrightarrow{CA}$.

Относительно треугольника<i>ABC</i>точка <i>X</i>имеет абсолютные барицентрические координаты($\alpha$:$\beta$:$\gamma$). Докажите, что$\overrightarrow{XA}$=$\beta$$\overrightarrow{BA}$+$\gamma$$\overrightarrow{CA}$.

Найдите барицентрические координаты а) центра описанной окружности; б) центра вписанной окружности; в) ортоцентра треугольника.

Центрально симметричная фигура на клетчатой бумаге состоит из <i>n</i>"уголков" и <i>k</i>прямоугольников размером 1×4, изображенных на рис. Докажите, что <i>n</i>четно. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/57775/problem_57775_img_2.gif" border="1"></div>

Внутри треугольника<i>ABC</i>взята точка <i>P</i>. Пусть <i>d</i>_a,<i>d</i>_bи <i>d</i>_c — расстояния от точки <i>P</i>до сторон треугольника,<i>R</i>_a,<i>R</i>_bи <i>R</i>_c — расстояния от нее до вершин. Докажите, что<div align="CENTER"> 3(<i>d</i>_a² + <i>d</i>_b² + <i>d</i>_c²)$\displaystyle \ge$(<i>R</i>_asin <i>A</i>...

Внутри окружности радиуса <i>R</i>расположено <i>n</i>точек. Докажите, что сумма квадратов попарных расстояний между ними не превосходит<i>n</i>²<i>R</i>².

На сторонах<i>AB</i>,<i>BC</i>,<i>CA</i>треугольника<i>ABC</i>взяты такие точки <i>A</i>₁и <i>B</i>₂,<i>B</i>₁и <i>C</i>₂,<i>C</i>₁и <i>A</i>₂, что отрезки<i>A</i>₁<i>A</i>₂,<i>B</i>₁<i>B</i>₂и <i>C</i>₁<i>C</i>₂параллельны сторонам треугольника и пересекаются в точке <i>P</i>. Докажите, что<i>PA</i><sub...

Хорды<i>AA</i>₁,<i>BB</i>₁и <i>CC</i>₁окружности с центром <i>O</i>пересекаются в точке <i>X</i>. Докажите, что(<i>AX</i>/<i>XA</i>₁) + (<i>BX</i>/<i>XB</i>₁) + (<i>CX</i>/<i>XC</i>₁) = 3 тогда и только тогда, когда точка <i>X</i>лежит на окружности с диаметром<i>OM</i>, где <i>M</i> — центр масс треугольника<i>ABC</i>.

Пусть <i>O</i> — центр описанной окружности треугольника<i>ABC</i>,<i>H</i> — точка пересечения высот. Докажите, что<i>a</i>²+<i>b</i>²+<i>c</i>²= 9<i>R</i>²-<i>OH</i>².

а) Треугольник<i>ABC</i>правильный. Найдите геометрическое место таких точек <i>X</i>, что<i>AX</i>²=<i>BX</i>²+<i>CX</i>². б) Докажите, что для точек указанного ГМТ подерный треугольник относительно треугольника<i>ABC</i>прямоугольный.

На окружности дано <i>n</i>точек. Через центр масс<i>n</i>- 2 точек проводится прямая, перпендикулярная хорде, соединяющей две оставшиеся точки. Докажите, что все такие прямые пересекаются в одной точке.

В середины сторон треугольника<i>ABC</i>помещены точки, массы которых равны длинам сторон. Докажите, что центр масс этой системы точек расположен в центре вписанной окружности треугольника с вершинами в серединах сторон треугольника<i>ABC</i>. Замечание. Центр масс системы точек, рассматриваемой в задаче <a href="https://mirolimp.ru/tasks/157759">14.12.1</a>совпадает с центром масс фигуры, изготовленной из трех тонких стержней одинаковой толщины. Действительно, при нахождении центра масс стержень можно заменить на точку, расположенную в середине стержня и имеющую массу, равную массе стержня. Ясно также, что масса стержня пропорциональна его длине.

На сторонах<i>BC</i>,<i>CA</i>и <i>AB</i>треугольника<i>ABC</i>взяты точки <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁так, что<i>BA</i>₁/<i>A</i>₁<i>C</i>=<i>CB</i>₁/<i>B</i>₁<i>A</i>=<i>AC</i>₁/<i>C</i>₁<i>B</i>. Докажите, что центры масс треугольников<i>ABC</i>и <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁совпа...

На сторонах<i>AB</i>,<i>BC</i>и <i>CA</i>треугольника<i>ABC</i>взяты точки <i>C</i>₁,<i>A</i>₁и <i>B</i>₁так, что прямые<i>CC</i>₁,<i>AA</i>₁и <i>BB</i>₁пересекаются в некоторой точке <i>O</i>. Докажите, что: а)${\frac{CO}{OC_1}}$=${\frac{CA_1}{A_1B}}$+${\frac{CB_1}{B_1A}}$; б)${\frac{AO}{OA_1}}$^.${\frac{BO}{OB_1}}$^.${\frac{CO}{OC_1}}$=${\frac{AO}{OA_1}}$+${\frac{BO}{OB_1}}$+${\frac{CO}{OC_1}}$+ 2$\ge$8.

Три мухи равной массы ползают по сторонам треугольника так, что их центр масс остается на месте. Докажите, что он совпадает с точкой пересечения медиан треугольника<i>ABC</i>, если известно, что одна муха проползла по всей границе треугольника.

Найдите внутри треугольника<i>ABC</i>точку <i>O</i>, обладающую следующим свойством: для любой прямой, проходящей через <i>O</i>и пересекающей сторону<i>AB</i>в точке <i>K</i>и сторону<i>BC</i>в точке <i>L</i>, выполнено равенство<i>p</i>${\frac{AK}{KB}}$+<i>q</i>${\frac{CL}{LB}}$= 1, где <i>p</i>и <i>q</i> — данные положительные числа.

На сторонах<i>AB</i>,<i>BC</i>,<i>CD</i>и <i>DA</i>выпуклого четырехугольника<i>ABCD</i>взяты точки <i>K</i>,<i>L</i>,<i>M</i>и <i>N</i>соответственно, причем<i>AK</i>:<i>KB</i>=<i>DM</i>:<i>MC</i>=$\alpha$и <i>BL</i>:<i>LC</i>=<i>AN</i>:<i>ND</i>=$\beta$. Пусть <i>P</i> — точка пересечения отрезков<i>KM</i>и <i>LN</i>. Докажите, что<i>NP</i>:<i>PL</i>=$\alpha$и <i>KP</i>:<i>PM</i>=$\beta$.

Докажите теорему Чевы (задача <a href="https://mirolimp.ru/tasks/156799">4.48</a>, б)) с помощью группировки масс.

Пусть<i>ABCD</i> — выпуклый четырехугольник,<i>K</i>,<i>L</i>,<i>M</i>и <i>N</i> — середины сторон<i>AB</i>,<i>BC</i>,<i>CD</i>и <i>DA</i>. Докажите, что точка пересечения отрезков<i>KM</i>и <i>LN</i>является серединой этих отрезков, а также и серединой отрезка, соединяющего середины диагоналей.