Пусть X — произвольная точка,O — центр описанной окружности данного треугольника,e_i=$\overrightarrow{OA_i}$и a=$\overrightarrow{XO}$. Если точка Xимеет барицентрические координаты(x₁:x₂:x₃), то$\sum$x_i(a+e_i) =$\sum$x_i$\overrightarrow{XA_i}$= 0, так как X — центр масс точек A₁,A₂,A₃с массами x₁,x₂,x₃. Поэтому($\sum$x_i)a= -$\sum$x_ie_i. Точка Xпринадлежит описанной окружности треугольника тогда и только тогда, когда|a| =XO=R, где R — радиус этой окружности. Таким образом, описанная окружность треугольника задается в барицентрических координатах уравнениемR²($\sum$x_i)²= ($\sum$x_ie_i)², т. е.R²$\sum$x_i²+ 2R²$\sum\limits_{i<j}^{}$x_ix_j=R²$\sum$x_i²+ 2$\sum\limits_{i<j}^{}$x_ix_j(e_i,e_j), так как|e_i| =R. Это уравнение переписывается в виде$\sum\limits_{i<j}^{}$x_ix_j(R²- (e_i,e_j)) = 0. Заметим теперь, что2(R²- (e_i,e_j)) =a_ij², где a_ij — длина стороныA_iA_j. В самом деле,a_ij²= |e_i-e_j|²= |e_i|²+ |e_j|²- 2(e_i,e_j) = 2(R²- (e_i,e_j)). В итоге получаем, что описанная окружность треугольникаA₁A₂A₃задается в барицентрических координатах уравнением$\sum\limits_{i<j}^{}$x_ix_ja_ij²= 0, где a_ij — длина стороныA_iA_j.

Ответ задачи отсутствует