Задача
а) Вычислите барицентрические координаты точки НагеляN. б) ПустьN— точка Нагеля,M— центр масс,I— центр вписанной окружности треугольникаABC. Докажите, что$\overrightarrow{NM}$= 2$\overrightarrow{MI}$; в частности точкаNлежит на прямойMI.
Решение
а) Пусть прямыеAN,BNиCNпересекают стороны треугольника в точкахA1,B1иC1. Тогда
$\displaystyle {\frac{AB_1}{B_1C}}$ = $\displaystyle {\frac{p-c}{p-a}}$, $\displaystyle {\frac{CA_1}{A_1B}}$ = $\displaystyle {\frac{p-b}{p-c}}$, $\displaystyle {\frac{BC_1}{C_1B}}$ = $\displaystyle {\frac{p-a}{p-b}}$.
Поэтому точкаNимеет барицентрические кординаты(p-a:p-b:p-c).
б) Абсолютные барицентрические координаты точекNиIравны
$\displaystyle \left(\vphantom{\frac{p-a}{p},\frac{p-b}{p},\frac{p-c}{p}}\right.$$\displaystyle {\frac{p-a}{p}}$,$\displaystyle {\frac{p-b}{p}}$,$\displaystyle {\frac{p-c}{p}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{p-a}{p},\frac{p-b}{p},\frac{p-c}{p}}\right)$ и $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{a}{2p},\frac{b}{2p},\frac{c}{2p}}\right.$$\displaystyle {\frac{a}{2p}}$,$\displaystyle {\frac{b}{2p}}$,$\displaystyle {\frac{c}{2p}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{a}{2p},\frac{b}{2p},\frac{c}{2p}}\right)$.
Поэтому, воспользовавшись задачей 14.35, получаем требуемое.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет