Задача
а) Найдите трилинейные координаты вершин треугольника Брокара. б) Найдите трилинейные координаты точки Штейнера (см. задачу 19.55.2).
Решение
а) Из решения задачи19.55следует, что вершинаA1треугольника Брокара является точкой пересечения прямыхCPиBQ, гдеPиQ — первая и вторая точки Брокара. Поэтому точкаA1имеет трилинейные координаты
$\displaystyle \left(\vphantom{1:\frac{c^2}{ab}:\frac{b^2}{ac}}\right.$1 : $\displaystyle {\frac{c^2}{ab}}$ : $\displaystyle {\frac{b^2}{ac}}$$\displaystyle \left.\vphantom{1:\frac{c^2}{ab}:\frac{b^2}{ac}}\right)$ = (abc : c3 : b3).
Барицентрические координаты этой точки имеют вид(a2:c2:b2).
б) Вычисления удобнее провести в барицентрических координатах. В
барицентрических координатах($\alpha$:$\beta$:$\gamma$) прямаяB1C1задается
уравнением
0 = $\displaystyle \begin{vmatrix}
\alpha&\beta&\gamma\\ \vspace{1\relax }
c^2&b^2&a^2\\ \vspace{1\relax }
b^2&a^2&c^2
\end{vmatrix}$ = $\displaystyle \alpha$(b2c2 - a4) + $\displaystyle \beta$(a2b2 - c4) + $\displaystyle \gamma$(a2c2 - b4).
Кроме того,$\alpha$+$\beta$+$\gamma$= 1. Поэтому прямая, проходящая через точкуAпараллельно прямойB1C1, задается уравнением
$\displaystyle \beta$(a2b2 - c4 + a4 - b2c2) + $\displaystyle \gamma$(a2c2 - b4 + a4 - b2c2) = 0,
т. е.(a2+b2+c2)$\bigl($$\beta$(a2-c2) +$\gamma$(a2-b2)$\bigr)$= 0.
Поэтому$\beta$:$\gamma$=${\frac{1}{c^2-a^2}}$:${\frac{1}{a^2 - b^2}}$. Таким образом, точка Штейнера имеет
барицентрические координаты$\left(\vphantom{\frac{1}{b^2-c^2}:\frac{1}{c^2-a^2}:
\frac{1}{a^2-b^2}}\right.$${\frac{1}{b^2-c^2}}$:${\frac{1}{c^2-a^2}}$:${\frac{1}{a^2 - b^2}}$$\left.\vphantom{\frac{1}{b^2-c^2}:\frac{1}{c^2-a^2}:
\frac{1}{a^2-b^2}}\right)$. Трилинейные координаты точки Штейнера имеют вид
$\displaystyle \left(\vphantom{\frac{1}{a(b^2-c^2)}:\frac{1}{b(c^2-a^2)}:\frac{1}{c(a^2-b^2)}}\right.$$\displaystyle {\frac{1}{a(b^2-c^2)}}$ : $\displaystyle {\frac{1}{b(c^2-a^2)}}$ : $\displaystyle {\frac{1}{c(a^2-b^2)}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{1}{a(b^2-c^2)}:\frac{1}{b(c^2-a^2)}:\frac{1}{c(a^2-b^2)}}\right)$.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет