Задача
Прямаяlкасается вписанной окружности треугольникаABC. Пусть$\delta_{a}^{}$,$\delta_{b}^{}$,$\delta_{c}^{}$— расстояния от прямойlдо точекA,B,Cс учетом знака (расстояние положительно, если точка и центр вписанной окружности лежат по одну сторону от прямойl; в противном случае расстояние отрциательно). Докажите, чтоa$\delta_{a}^{}$+b$\delta_{b}^{}$+c$\delta_{c}^{}$= 2SABC.
Решение
Проведем через центр вписанной окружности прямуюl', параллельную прямойl. Пустьda=$\delta_{a}^{}$-r,db=$\delta_{b}^{}$-r,dc=$\delta_{c}^{}$-r, гдеr— радиус вписанной окружности. Тогдаda,db,dc— расстояния то точекA,B,Cдо прямойl'с учетом знака. Центр вписанной окружности имеет барицентрические координаты (a:b:c), поэтому согласно задаче 14.41B2ada+bdb+cdc= 0, т.е.a$\delta_{a}^{}$+b$\delta_{b}^{}$+c$\delta_{c}^{}$=r(a+b+c) = 2SABC.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь