Задача
Поворотные гомотетии P1и P2с центрами A1и A2имеют один и тот же угол поворота, а произведение их коэффициентов равно 1. Докажите, что композицияP2oP1является поворотом, причем его центр совпадает с центром другого поворота, переводящего A1в A2и имеющего угол поворота2$\angle$($\overrightarrow{MA_1}$,$\overrightarrow{MN}$), где M — произвольная точка и N=P1(M).
Решение
Так как произведение коэффициентов поворотных гомотетий P1и P2равно 1, их композиция является поворотом (см. задачу 17.36). Пусть O — центр поворотаP2oP1;R=P1(O). Так какP2oP1(O) =O, тоP2(R) =O. Следовательно, по условиюA1O:A1R=A2O:A2Rи $\angle$OA1R=$\angle$OA2R, т. е.$\triangle$OA1R$\sim$$\triangle$OA2R. Кроме того,OR — общая сторона этих подобных треугольников, значит,$\triangle$OA1R=$\triangle$OA2R. Следовательно,OA1=OA2и $\angle$($\overrightarrow{OA_1}$,$\overrightarrow{OA_2}$) = 2$\angle$($\overrightarrow{OA_1}$,$\overrightarrow{OR}$) = 2$\angle$($\overrightarrow{MA_1}$,$\overrightarrow{MN}$), т. е.O — центр поворота на угол2$\angle$($\overrightarrow{MA_1}$,$\overrightarrow{MN}$), переводящего A1в A2.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь