Задание по олимпиадной математике: перпендикуляры из вершин многоуголь
Задача
Из каждой вершины многоугольника опущены перпендикуляры на стороны, её не содержащие. Докажите, что хотя бы для одной вершины одно из оснований перпендикуляров лежит на самой стороне, а не на её продолжении.
Решение
Возьмём наибольшую сторонуABданного многоугольника и рассмотрим полосу, состоящую из тех точек, проекции которых на прямуюABпопадают на отрезокAB. Эту полосу должна пересекать какая-нибудь другая сторонаCDмногоугольника (одна из вершинCиDможет совпадать сAили сB). НеравенствоCD$\le$ABпоказывает, что одна из вершинCиDлежит внутри или на границе полосы (еслиC=AилиB, то вершинаDлежит внутри полосы). Вершина, лежащая внутри или на границе полосы и отличная отAиB, обладает требуемым свойством.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь