Предположим, что существует замкнутая ломанаяA₁...A_nс нечетным числом звеньев равной длины, все вершины которой лежат в узлах целочисленной решетки. Пусть a_iи b_i — координаты проекций вектора$\overrightarrow{A_iA_{i+1}}$на горизонтальную и вертикальную оси. Обозначим длину звена ломаной через c. Тогдаc²=a_i²+b_i², поэтому c²при делении на 4 дает остаток 0, 1 или 2. Если c²делится на 4, то a_iи b_iделятся на 4 (это доказывается простым перебором всех возможных остатков, которые a_iи b_iдают при делении на 4). Поэтому при гомотетии с центром A₁и коэффициентом 0, 5 наша ломаная перейдет в ломаную с меньшей длиной звена, вершины которой по-прежнему лежат в узлах решетки. После нескольких таких операций придем к ломаной, у которой c²не делится на 4, т. е. дает остаток 1 или 2. Разберем эти варианты, предварительно заметив, чтоa₁+...+a_m=b₁+...+b_m= 0. 1.c²при делении на 4 дает остаток 2. Тогда числа a_iи b_iоба нечетны, поэтому числоa₁+...+a_mнечетно и не может равняться нулю. 2.c²при делении на 4 дает остаток 1. Тогда одно из чисел a_iи b_iнечетно, а другое четно, поэтому числоa₁+...+a_m+b₁+...+b_mнечетно и не может равняться нулю.

Ответ задачи отсутствует