Олимпиадные задачи из источника «глава 24. Целочисленные решетки»
Рассмотрим все рациональные числа между нулём и единицей, знаменатели которых не превосходят <i>n</i>, расположенные в порядке возрастания (<i>ряд Фарея</i>). Пусть <sup><i>a</i></sup>/<sub><i>b</i></sub> и <sup><i>c</i></sup>/<sub><i>d</i></sub> – какие-то два соседних числа (дроби несократимы). Доказать, что |<i>bc – ad</i>| = 1.
Внутри выпуклой фигуры с площадью <i>S</i>и полупериметром <i>p</i>лежит <i>n</i>узлов решетки. Докажите, что<i>n</i>><i>S</i>-<i>p</i>.
Выпуклая фигура$\Phi$имеет площадь<i>S</i>и полупериметр<i>p</i>. Докажите, что если<i>S</i>><i>np</i>для некоторого натурального<i>n</i>, то$\Phi$содержит по крайней мере<i>n</i>целочисленных точек.
Внутри выпуклой фигуры с площадью<i>S</i>и полупериметром<i>p</i>нет точек целочисленной решётки. Докажите, что<i>S</i>$\le$<i>p</i>.
а) Во всех узлах целочисленной решетки, кроме одного, в котором находится охотник, растут деревья, стволы которых имеют радиус <i>r</i>. Докажите, что охотник не сможет увидеть зайца, находящегося от него на расстоянии больше 1/<i>r</i>. б) Пусть<i>n</i>— натуральное число. Во всех точках целочисленной решетки, расположенных строго внутри окружности радиуса$\sqrt{n^2+1}$с центром в начале координат и отличных от начала координат, растут деревья радиуса<i>r</i>. Докажите, что если<i>r</i><${\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}}$, то на указанной окружности есть точка, которую можно увидеть из начала координат.
Начало координат является центром симметрии выпуклой фигуры площадью более 4. Докажите, что эта фигура содержит хотя бы одну точку с целыми координатами, отличную от начала координат.
Докажите, что для любого <i>n</i>существует окружность, на которой лежит ровно <i>n</i>целочисленных точек.
Докажите, что для любого <i>n</i>существует окружность, внутри которой лежит ровно <i>n</i>целочисленных точек.
На бесконечном листе клетчатой бумаги <i>N</i>клеток окрашено в черный цвет. Докажите, что из этого листа можно вырезать конечное число квадратов так, что будут выполняться два условия: 1) все черные клетки лежат в вырезанных квадратах; 2) в любом вырезанном квадрате <i>K</i>площадь черных клеток составит не менее 1/5 и не более 4/5 площади <i>K</i>.
Докажите, что квадрат со стороной<i>n</i>не может накрыть более (<i>n</i>+ 1)<sup>2</sup>точек целочисленной решётки.
Вершины треугольника<i>ABC</i>расположены в узлах целочисленной решетки, причем на его сторонах других узлов нет, а внутри его есть ровно один узел <i>O</i>. Докажите, что <i>O</i> — точка пересечения медиан треугольника<i>ABC</i>.
Вершины многоугольника (не обязательно выпуклого) расположены в узлах целочисленной решетки. Внутри его лежит <i>n</i>узлов решетки, а на границе <i>m</i>узлов. Докажите, что его площадь равна<i>n</i>+<i>m</i>/2 - 1 (<i>формула Пика</i>).
Вершины выпуклого многоугольника расположены в узлах целочисленной решётки, причём ни одна из его сторон не проходит по линиям решётки. Докажите, что сумма длин горизонтальных отрезков линий решётки, заключённых внутри многоугольника, равна сумме длин вертикальных отрезков.
На клетчатой бумаге выбраны три точки<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>, находящиеся в вершинах клеток. Докажите, что если треугольник<i>ABC</i>остроугольный, то внутри или на сторонах его есть по крайней мере еще одна вершина клетки.
Существует ли замкнутая ломаная с нечетным числом звеньев равной длины, все вершины которой лежат в узлах целочисленной решетки?
Можно ли прямоугольный треугольник с целыми сторонами расположить так, чтобы его вершины лежали в узлах целочисленной решетки, но ни одна из его сторон не проходила по линиям решетки?
Докажите, что при<i>n</i> ≠ 4 правильный<i>n</i>-угольник нельзя расположить так, чтобы его вершины оказались в узлах целочисленной решетки.
Существует ли правильный треугольник с вершинами в узлах целочисленной решетки?