Задача
а) Во всех узлах целочисленной решетки, кроме одного, в котором находится охотник, растут деревья, стволы которых имеют радиус r. Докажите, что охотник не сможет увидеть зайца, находящегося от него на расстоянии больше 1/r. б) Пустьn— натуральное число. Во всех точках целочисленной решетки, расположенных строго внутри окружности радиуса$\sqrt{n^2+1}$с центром в начале координат и отличных от начала координат, растут деревья радиусаr. Докажите, что еслиr<${\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}}$, то на указанной окружности есть точка, которую можно увидеть из начала координат.
Решение
а) Пусть охотник находится в точке O, а заяц — в точке A;A1 — точка, симметричная Aотносительно O. Рассмотрим фигуру $\Phi$, содержащую все точки, расстояние от которых до отрезкаAA1не превосходит r(рис.). Достаточно доказать, что $\Phi$содержит хотя бы один узел решетки (если узел попадает в заштрихованную часть, то точка Aпринадлежит стволу дерева). Площадь $\Phi$равна4rh+$\pi$r2, где h — расстояние от охотника до зайца. Еслиh> 1/r, то4rh+$\pi$r2> 4. По теореме Минковского $\Phi$содержит целочисленную точку. б) Рассмотрим прямоугольник с вершинами (0, 0), (0, 1), (n, 1) и (n, 0). Покажем, что из начала координат можно увидеть точку (n, 1). Действительно, расстояния от точек (1, 0) и (n- 1, 1) до прямой, проходящей через точки (0, 0) и (n, 1), равно${\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}}$. Поэтому деревья, растущие в этих точках, не пересекают указанную прямую. Остальные деревья ее тем более не пересекают.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь