Докажем сначала, что уравнениеx²+y²= 5^kимеет ровно 4(k+ 1) целочисленных решений. Приk= 0 и k= 1 это утверждение очевидно. Докажем, что уравнениеx²+y²= 5^kимеет ровно восемь таких решений (x,y), что xи yне делятся на 5; вместе с 4(k- 1) решениями вида (5a, 5b), где aи b — решение уравненияa²+b²= 5^{k - 2}, они дают нужное количество решений. Эти решения получаются друг из друга перестановками xи yи изменениями знаков; мы будем называть их нетривиальными решениями. Пустьx²+y²делится на 5. Тогда(x+ 2y)(x- 2y) =x²+y²- 5y²тоже делится на 5. Поэтому одно из чиселx+ 2yи x- 2yделится на 5. Легко проверить также, что еслиx+ 2yи x- 2yделятся на 5, то xи yделятся на 5. Если (x,y) — нетривиальное решение уравненияx²+y²= 5^k, то(x+ 2y, 2x-y) и (x- 2y, 2x+y) — решения уравнения$\xi^{2}{}$+$\eta^{2}{}$= 5^{k + 1}, причем ровно одно из них нетривиально. Остается доказать, что нетривиальное решение единственно с точностью до перестановки xи yи изменения знаков. Пусть (x,y) — нетривиальное решение уравненияx²+y²= 5^k. Тогда как пары$\Bigl($±${\frac{2x-y}{5}}$,±${\frac{x+2y}{5}}$$\Bigr)$и $\Bigl($±${\frac{x+2y}{5}}$,±${\frac{2x-y}{5}}$$\Bigr)$, так и пары$\Bigl($±${\frac{2x+y}{5}}$,±${\frac{x-2y}{5}}$$\Bigr)$и $\Bigl($±${\frac{x-2y}{5}}$,±${\frac{2x+y}{5}}$$\Bigr)$являются решениями уравнения$\xi^{2}{}$+$\eta^{2}{}$= 5^{k - 1}, но целочисленными будут пары ровно одного из этих видов, так как ровно одно из чиселx+ 2yи x- 2yделится на 5. При этом мы получим нетривиальное решение, потому что(x+ 2y)(x- 2y) = (x²+y²) - 5y²приk$\ge$2 делится на 5, но не делится на 25. Таким образом, каждое из восьми нетривиальных решений уравненияx²+y²= 5^kдает восемь нетривиальных решений уравнения$\xi^{2}{}$+$\eta^{2}{}$= 5^{k - 1}, причем для одной половины решений нужно воспользоваться формулами первого вида, а для другой половины решений — формулами второго вида. Перейдем теперь непосредственно к решению задачи. Пустьn= 2k+ 1. Докажем, что на окружности радиуса 5^k/3 с центром (1/3, 0) лежит ровно nцелочисленных точек. Уравнениеx²+y²= 5^2kимеет 4(2k+ 1) целочисленных решений. Кроме того, 5^2kпри делении на 3 дает остаток 1, поэтому одно из чисел xи yделится на 3, а другое при делении на 3 дает остаток ±1. Следовательно, ровно в одной из пар (x,y), (x, -y), (y,x) и (-y,x) первое и второе числа дают при делении на 3 остатки -1 и 0 соответственно. Поэтому уравнение(3z- 1)²+ (3t)²= 5^2kимеет ровно 2k+ 1 целочисленных решений. Пустьn= 2k. Докажем, что на окружности радиуса5^{(k - 1)/2}/2 с центром (1/2, 0) лежит ровно nцелочисленных точек. Уравнениеx²+y²= 5^{k - 1}имеет ровно 4kцелочисленных решений, причем одно из чисел xи yчетно, а другое нечетно. Поэтому уравнение(2z- 1)²+ (2t)²= 5^{k - 1}имеет ровно 2kцелочисленных решений.

Ответ задачи отсутствует