Прежде всего докажем, что если внутри выпуклой фигуры$\Phi$с площадьюSи полупериметромpнет точек целочисленной решётки, то существует выпуклая фигура$\Phi{^\prime}$с площадьюS'=Sи полупериметромp'$\le$p, внутри которой нет точек целочисленной решётки и которая симметрична относительно прямыхx= 1/2 иy= 1/2. Затем для фигуры$\Phi{^\prime}$мы докажем, чтоS'$\le$p'. Фигура$\Phi{^\prime}$строится по фигуре$\Phi$следующим образом. Сначала мы берём симметризацию по Штейнеру фигуры$\Phi$относительно прямойx= 1/2, а затем для полученной фигуры рассматриваем симметризацию по Штейнеру относительно прямойy= 1/2. При симметризации по Штейнеру снова получается выпуклая фигура (задача 22.12B), её площадь не изменяется, а периметр не увеличивается (задача 22.12B1). Предположим, что промежуточная фигура содержит целочисленную точку (m,n). Эта фигура симметрична относительно прямойx= 1/2, поэтому она содержит точку (-m+ 1,n). Следовательно, прямаяy=nпересекает фигуру$\Phi$по отрезку, длина которого не меньше| 2m- 1|$\ge$1. Но тогда фигура$\Phi$должна содержать целочисленную точку. Приходим к противоречию. Аналогично доказывается, что фигура$\Phi{^\prime}$не содержит целочисленных точек. Докажем теперь, чтоS'$\le$p'. Для этого рассмотрим два случая.

1. Фигура$\Phi{^\prime}$не содержит точек (x,y), для которыхx> 3/2 илиy> 3/2. Тогда фигура$\Phi{^\prime}$целиком содержится в фигуре, заштрихованной на рис. Нужно лишь объяснить, почему от квадрата со стороной 2 отрезаны угловые квадратики со стороной 1/2. Это связано с тем, что если для любой точки углового квадратика рассмотреть ещё точки, симметричные ей относительно прямыхx= 1/2 иy= 1/2 и относительно точки (1/2, 1/2), то выпуклая оболочка этих четырёх точек будет содержать целочисленные точки (например, начало координат). Таким образом,S'$\le$3. Поэтому согласно изопериметрическому неравенствуS'/p'$\le$$\le$$\sqrt{3/\pi}$< 1.

2. Фигура$\Phi{^\prime}$содержит точку (x,y), для которойx> 3/2 илиy> 3/2. Пусть для определённости наибольшая координатаxточек фигуры$\Phi{^\prime}$равнаa> 3/2. Рассмотрим точку (a,b) фигуры$\Phi{^\prime}$с наибольшей координатойy. Ясно, чтоb< 1, поскольку иначе прямоугольник с вершинами (a,b), (-a+ 1,b),(-a+ 1, -b+ 1), (a, -b+ 1) содержал бы целочисленные точки. Часть фигуры$\Phi{^\prime}$, состоящая из точек (x,y), для которыхx$\ge$1/2 иy$\ge$1/2, принадлежит трапеции, заштрихованной на рис., поэтому площадь этой части не превосходит${\frac{1}{2}}$$\left(\vphantom{a-\frac{1}{2}}\right.$a-${\frac{1}{2}}$$\left.\vphantom{a-\frac{1}{2}}\right)$. Следовательно,S'$\le$2$\left(\vphantom{a-\frac{1}{2}}\right.$a-${\frac{1}{2}}$$\left.\vphantom{a-\frac{1}{2}}\right)$. Ясно также, чтоp'$\ge$2$\left(\vphantom{a-\frac{1}{2}}\right.$a-${\frac{1}{2}}$$\left.\vphantom{a-\frac{1}{2}}\right)$.

Ответ задачи отсутствует