Рассмотрим все выпуклые фигуры, получающиеся из данной переносами на векторы, обе координаты которых четны. Докажем, что хотя бы две из этих фигур пересекаются. Исходную фигуру можно заключить в круг радиуса Rс центром в начале координат, причем Rможно выбрать целым числом. Возьмем те из рассматриваемых фигур, координаты центров которых являются неотрицательными числами, не превосходящими 2n. Этих фигур ровно (n+ 1)²штук и все они лежат внутри квадрата со стороной 2(n+R). Если бы они не пересекались, то при любом nвыполнялось бы неравенство(n+ 1)²S< 4(n+R)², где S — площадь данной фигуры. Но так какS> 4, то nможно выбрать так, чтобы выполнялось неравенство(n+R)/(n+ 1) <$\sqrt{S/4}$. Пусть теперь фигуры с центрами O₁и O₂имеют общую точку A(рис.). Докажем, что тогда середина MотрезкаO₁O₂принадлежит обеим фигурам (ясно, что точка Mимеет целые координаты). Пусть$\overrightarrow{O_1B}$= -$\overrightarrow{O_2A}$. Так как данная фигура центрально симметрична, точка Bпринадлежит фигуре с центром O₁. Эта фигура выпукла, и точки Aи Bпринадлежат ей, поэтому ей принадлежит также середина отрезкаAB. Ясно, что середина отрезкаABсовпадает с серединой отрезкаO₁O₂.

Ответ задачи отсутствует