Каждому многоугольнику Mс вершинами в узлах целочисленной решетки поставим в соответствие числоf(M) =$\sum_{i}^{}$$\varphi_{i}{^\prime}$/2$\pi$, где суммирование ведётся по всем узлам решётки, принадлежащимM, и$\varphi_{i}^{}$— угол, под которым виден многоугольникMиз соответствующего узла. Например,$\varphi_{i}^{}$= 2$\pi$для внутренней точки многоугольника,$\varphi_{i}^{}$=$\pi$для граничной точки, отличной от вершины. Легко видеть, чтоf(M) =n+${\frac{(m-2)\pi}{2\pi}}$=n+${\frac{m}{2}}$- 1. Остаётся проверить, что числоf(M) равно площади многоугольникаM. Пусть многоугольник Mразрезан на многоугольники M₁и M₂с вершинами в узлах решетки. Тогдаf(M) =f(M₁) +f(M₂), поскольку для каждого узла углы складываются. Поэтому если формула Пика верна для двух из многоугольников M,M₁и M₂, то она верна и для третьего. Если M — прямоугольник со сторонами pи q, направленными по линиям решетки, то

В этом случае формула Пика справедлива. Разрезав прямоугольник Mдиагональю на треугольники M₁и M₂и воспользовавшись тем, чтоf(M) =f(M₁) +f(M₂) и f(M₁) =f(M₂), легко доказать справедливость формулы Пика для любого прямоугольного треугольника с катетами, направленными по линиям решетки. Отрезав несколько таких треугольников от прямоугольника, можно получить любой треугольник (рис.). Для завершения доказательства формулы Пика остается заметить, что любой многоугольник можно разрезать на треугольники непересекающимися диагоналями (задача 22.22).

Ответ задачи отсутствует