Рассмотрим целочисленную решетку, заданную уравнениямиx=k+ 1/2 и y=l+ 1/2, где kи l — целые числа. Докажем, что каждый квадрат этой решетки дает неотрицательный вклад в величинуn-S+p. Рассмотрим два случая.

1. Фигура содержит центр квадрата. Тогдаn'= 1 и S'$\le$1, поэтомуn'-S'+p'$\ge$0.
2. Фигура пересекает квадрат, но не содержит его центр. Докажем, что в этом случаеS'$\le$p'. Если фигура целиком лежит в этом квадрате, то согласно изопериметрическому неравенствуS'/p'$\le$$\le$$\sqrt{1/\pi}$< 1. Если рассматриваемая часть фигуры ограничена стороной квадрата и некоторой кривой, то согласно задаче 22.BIs15aS'/p'$\le$$\le$$\sqrt{2/\pi}$< 1. Поэтому остаётся рассмотреть случаи, когда рассматриваемая часть фигуры ограничена сторонами квадрата и кривой, соединяющей либо противоположные, либо смежные стороны квадрата. При этом можно считать, что центрOквадрата лежит на границе фигуры (рис.). Действительно, для кривой, соединяющей противоположные стороны, можно применить параллельный перенос, а для кривой, соединяющей смежные стороны, — гомотетию с центром в их общей вершине. В обоих случаях отношениеS'/p'увеличится. Так как расстояния от центра квадрата до его сторон равны 1/2, тоp'$\ge$1/2. Проведя через точку Oопорную прямую к данной фигуре, получим, чтоS'$\le$1/2. Ясно также, что все вклады квадратов не могут быть одновременно нулевыми.

Ответ задачи отсутствует