Олимпиадные задачи из источника «глава 24. Целочисленные решетки» - сложность 5 с решениями
Внутри выпуклой фигуры с площадью <i>S</i>и полупериметром <i>p</i>лежит <i>n</i>узлов решетки. Докажите, что<i>n</i>><i>S</i>-<i>p</i>.
Выпуклая фигура$\Phi$имеет площадь<i>S</i>и полупериметр<i>p</i>. Докажите, что если<i>S</i>><i>np</i>для некоторого натурального<i>n</i>, то$\Phi$содержит по крайней мере<i>n</i>целочисленных точек.
Внутри выпуклой фигуры с площадью<i>S</i>и полупериметром<i>p</i>нет точек целочисленной решётки. Докажите, что<i>S</i>$\le$<i>p</i>.
а) Во всех узлах целочисленной решетки, кроме одного, в котором находится охотник, растут деревья, стволы которых имеют радиус <i>r</i>. Докажите, что охотник не сможет увидеть зайца, находящегося от него на расстоянии больше 1/<i>r</i>. б) Пусть<i>n</i>— натуральное число. Во всех точках целочисленной решетки, расположенных строго внутри окружности радиуса$\sqrt{n^2+1}$с центром в начале координат и отличных от начала координат, растут деревья радиуса<i>r</i>. Докажите, что если<i>r</i><${\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}}$, то на указанной окружности есть точка, которую можно увидеть из начала координат.
Начало координат является центром симметрии выпуклой фигуры площадью более 4. Докажите, что эта фигура содержит хотя бы одну точку с целыми координатами, отличную от начала координат.
Докажите, что для любого <i>n</i>существует окружность, на которой лежит ровно <i>n</i>целочисленных точек.
Докажите, что квадрат со стороной<i>n</i>не может накрыть более (<i>n</i>+ 1)<sup>2</sup>точек целочисленной решётки.
Вершины треугольника<i>ABC</i>расположены в узлах целочисленной решетки, причем на его сторонах других узлов нет, а внутри его есть ровно один узел <i>O</i>. Докажите, что <i>O</i> — точка пересечения медиан треугольника<i>ABC</i>.
Вершины многоугольника (не обязательно выпуклого) расположены в узлах целочисленной решетки. Внутри его лежит <i>n</i>узлов решетки, а на границе <i>m</i>узлов. Докажите, что его площадь равна<i>n</i>+<i>m</i>/2 - 1 (<i>формула Пика</i>).
На клетчатой бумаге выбраны три точки<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>, находящиеся в вершинах клеток. Докажите, что если треугольник<i>ABC</i>остроугольный, то внутри или на сторонах его есть по крайней мере еще одна вершина клетки.
Существует ли замкнутая ломаная с нечетным числом звеньев равной длины, все вершины которой лежат в узлах целочисленной решетки?