а) Пусть A₁,B₁и C₁ — середины сторонBC,CAи AB. Докажем, например, что описанная окружность треугольникаA₁B₁C₁касается вписанной окружности Sи вневписанной окружности S_a, касающейся стороныBC. Пусть точки B'и C'симметричны Bи Cотносительно биссектрисы угла A(т. е.B'C' — вторая общая внутренняя касательная к Sи S_a),Pи Q — точки касания окружностей Sи S_aсо сторонойBC,Dи E — точки пересечения прямыхA₁B₁и A₁C₁с прямойB'C'. Согласно задаче 3.2BQ=CP=p-c, а значит,A₁P=A₁Q= |b-c|/2. Достаточно доказать, что при инверсии с центром A₁и степеньюA₁P²точки B₁и C₁переходят в Dи E(при этой инверсии окружности Sи S_aпереходят в себя, а описанная окружность треугольникаA₁B₁C₁переходит в прямуюB'C'). Пусть K — середина отрезкаCC'. Точка Kлежит на прямойA₁B₁, причемA₁K=BC'/2 = |b-c|/2 =A₁P. Кроме того,A₁D:A₁K=BC':BA=A₁K:A₁B₁, т. е.A₁D ^. A₁B₁=A₁K²=A₁P². АналогичноA₁E ^. A₁C₁=A₁P². б) ОкружностьS', проходящая через середины сторон треугольникаABC, проходит еще и через основания высот (задача 5.106). ПустьH -- основание высоты, опущенной из вершиныB,B₂ — середина стороныAC. Достаточно проверить, что инверсия с центромAи степеньюAB₂ ^. AH=${\frac{b}{2}}$ccos A=prctgAпереводит вневписанную окружностьS_aво вписанную окружность треугольникаAB₁C₁. Действительно, эта инверсия переводит окружностьS'в себя, а согласно задаче а) окружностиS'иS_aкасаются. ПустьX — середина отрезкаAB₁. ТогдаCX=rиAX=rctgA. Остается заметить, что длина касательной из точкиAк окружностиS_aравнаp.

Ответ задачи отсутствует