Задача
Даны две параллельные прямые a,bи точка O. Тогда для каждой точки Mможно выполнить следующее построение. Проведем через Mпроизвольную прямую l, не проходящую через Oи пересекающую прямые aи b. Точки пересечения обозначим соответственно через Aи B, и пусть M' — точка пересечения прямойOMс прямой, параллельнойOBи проходящей через A. а) Докажите, что точка M'не зависит от выбора прямой l. б) Докажите, что преобразование плоскости, переводящее точку Mв точку M', является проективным.
Решение
а) Точка M'лежит на прямойOM, поэтому ее положение однозначно определяется отношениемMO:OM'. Но в силу того, что треугольникиMBOи MAM'подобны,MO:OM'=MB:BA, а последнее отношение не зависит от выбора прямой lпо теореме Фалеса. б) Первое решение.Если данное преобразование (обозначим его P) доопределить в точке O, положивP(O) =O, то, как легко проверить,Pзадает взаимно однозначное преобразование множества всех конечных и бесконечных точек плоскости (чтобы по точке M'построить точку M, надо взять на aпроизвольную точку A, провести прямыеAM',OB|AM'и AB). Ясно, что каждая прямая, проходящая через O, переходит в себя. Каждая прямая l, не проходящая через O, переходит в прямую, параллельнуюOBи проходящую через M. Остается воспользоваться задачей 30.14, г).
Второе решение(набросок). Обозначим данную плоскость через $\pi$, и пусть$\pi{^\prime}$=R($\pi$), где R — некоторый поворот пространства вокруг оси a. ОбозначимR(O) через O', и пусть P — проектирование плоскости $\pi$на плоскость $\pi{^\prime}$из точки пересечения прямойOO'с плоскостью, проходящей через bпараллельно $\pi{^\prime}$. Тогда преобразованиеR-1oPсовпадает (докажите самостоятельно) с преобразованием, о котором идет речь в формулировке задачи.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь