Предположим, что     для некоторой дроби ^p/_q. Согласно задаче 160619 число ^p/_q является подходящей дробью ^P_n/_Qn к .

  Рассмотрим последовательность чисел  q_n – |P_n+kQ_n – P_nQ_n+k|.  Она удовлетворяет начальным условиям  q₀ = 0,  q₁ = 1  и рекуррентному соотношению  q_k = 2q_k–1 + q_k–2  (k ≥ 2).  Поэтому числа q_n совпадают со знаменателями подходящих дробей к :   q_k = Q_k–1  (k ≥ 1),  то есть  

  Чтобы получить противоречие с исходным предположением, достаточно доказать неравенство  

  Свойства чисел Q_n похожи на свойства чисел Фибоначчи. В частности, для них можно доказать равенство, аналогичное соотношению из задачи 160566:   Q_n+k = Q_k–1Q_n+1 – Q_k–2Q_n.  Поэтому  

  Остается заметить, что  ^Q_n+1/_Qk ≤ ⁵/₂  и  ^Q_k–2/_Qk–1 ≤ ¹/₂ .

Ответ задачи отсутствует