Задача
Последовательность многочленов P0(x) = 1, P1(x) = x, P2(x) = x² – 1, ... задается условием Pn+1(x) = xPn(x) – Pn–1(x).
Докажите, что уравнение P100(x) = 0 имеет 100 различных действительных корней на отрезке [–2, 2]. Что это за корни?
Решение
Последовательности многочленов Pn(x) и Un(x/2) удовлетворяют одним и тем же начальным условиям и тому же рекуррентному соотношению (см. задачу 161100). Следовательно, они совпадают. Поcкольку sin 101φ = sin φ Un(cos φ), то подставив x = 2 cos φ в уравнение P100(x) = 0, получим sin 101φ = 0. Корни этого уравнения φk = kπ/101, поэтому исходное уравнение имеет 100 корней: xk = 2cos(kπ/101) (k = 1, 2, ..., 100). Поскольку больше 100 корней многочлен 100-й степени иметь не может, то корень x0 = 2 является посторонним (он возник из за умножения на sin φ).
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь