Задача
Докажите, что если функцияf(x) выпукла вверх на отрезке [a;b], то для любых различных точекx1,x2из [a;b] и любых положительных$\alpha_{1}^{}$,$\alpha_{2}^{}$таких, что$\alpha_{1}^{}$+$\alpha_{2}^{}$= 1 выполняется неравенство:
f$\displaystyle \left(\vphantom{\alpha_1x_1+\alpha_2x_2}\right.$$\displaystyle \alpha_{1}^{}$x1 + $\displaystyle \alpha_{2}^{}$x2$\displaystyle \left.\vphantom{\alpha_1x_1+\alpha_2x_2}\right)$ > $\displaystyle \alpha_{1}^{}$f (x1) + $\displaystyle \alpha_{2}^{}$f (x2).
Решение
Пустьl(x) — касательная к графику функцииf(x) в точке$\alpha_{1}^{}$x1+$\alpha_{2}^{}$x2. Тогда, по определению выпуклости,
$\displaystyle \alpha_{1}^{}$f (x1) + $\displaystyle \alpha_{2}^{}$f (x2) < $\displaystyle \alpha_{1}^{}$l (x1) + $\displaystyle \alpha_{2}^{}$l (x2) = l$\displaystyle \left(\vphantom{\alpha_1x_1+\alpha_2x_2}\right.$$\displaystyle \alpha_{1}^{}$x1 + $\displaystyle \alpha_{2}^{}$x2$\displaystyle \left.\vphantom{\alpha_1x_1+\alpha_2x_2}\right)$ = f$\displaystyle \left(\vphantom{\alpha_1x_1+\alpha_2x_2}\right.$$\displaystyle \alpha_{1}^{}$x1 + $\displaystyle \alpha_{2}^{}$x2$\displaystyle \left.\vphantom{\alpha_1x_1+\alpha_2x_2}\right)$.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет