Олимпиадные задачи из источника «глава 10. Неравенства»

<i>a, b, c</i> – такие три числа, что  <i>a + b + c</i> = 0.  Доказать, что в этом случае справедливо соотношение  <i>ab + ac + bc</i> ≤ 0.

Докажите неравенства из задачи <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161387">161387</a> при помощи <i>неравенства Мюрхеда</i> (задача <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161424">161424</a>). Как будут выглядеть диаграммы Юнга для соответствующих функций?

Докажите следующие неравенства непосредственно и при помощи неравенства Мюрхеда (задача <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161424">161424</a>):

  а)  <i>x</i>⁴<i>y</i>²<i>z + y</i>⁴<i>x</i>²<i>z + y</i>⁴<i>z</i>²<i>x + z</i>⁴<i>y</i>²<i>x + x</i>⁴<i>z</i>²<i>y + z</i>⁴<i>x</i>²<i>y</i> ≥ 2(<i>x</i>³<i>y</i>²<i>z</i>² + <i>x</i>²<i>y</i>³<i>z</i>² + <i>x</i>²<i>y</i>²<i>z</i...

Выведите из <i>неравенства Мюрхеда</i> (задача <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161424">161424</a>) неравенство <i>между средним арифметическим и средним геометрическим</i>.

Пусть  α = (α₁, ..., α_<i>n</i>)  и  β = (β₁, ..., β_<i>n</i>)  – два набора показателей с равной суммой.

Докажите, что, если  α ≠ β,  то при всех неотрицательных  <i>x</i>₁, ..., <i>x_n</i>  выполняется неравенство  <i>T</i>_α(<i>x</i>₁, ..., <i>x_n</i>) ≥ <i>T</i>_β(<i>x</i>₁, ..., <i>x_n</i>).

Определение многочленов <i>T</i>_α смотри в задаче <a href="https://...

Пусть  <i>T</i>_α(<i>x, y, z</i>) ≥ <i>T</i>_β(<i>x, y, z</i>)  для всех неотрицательных <i>x, y, z</i>. Докажите, что   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61423/problem_61423_img_2.gif"> Определение многочленов <i>T</i>_α смотри в задаче <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161417">161417</a>, про показатели смотри в <a href="https://problems.ru/thes.php?letter=4#diagramma_junga">справочнике</a>.

а) Диаграммы Юнга  (4, 1, 1)  и  (3, 3, 0)  не сравнимы, – ни одна из них не мажорирует другую. Есть ли еще такие несравнимые наборы с суммой 6? б) Найдите все несравнимые пары наборов для  <i>s</i> = 7. Про диаграммы Юнга смотри <a href="https://problems.ru/thes.php?letter=4#diagramma_junga">здесь</a>.

Нарисуйте все лестницы из четырёх кирпичей в порядке убывания, начиная с самой крутой  (4, 0, 0, 0)  и заканчивая самой пологой  (1, 1, 1, 1).

Докажите, что   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61420/problem_61420_img_2.gif">   тогда и только тогда, когда β можно получить из α проделав несколько (может быть один раз или ни одного) операции вида <div align="CENTER">(<i>k,  j, i</i>)   ↔   (<i>k</i> – 1,  <i>j</i> + 1, <i>i</i>),     (<i>k,  j, i</i>)   ↔   (<i>k</i> – 1, <i>j, i</i> + 1),     (<i>k, j, i</i>)   ↔ (<i>k,  j</i> – 1, <i>i</i> + 1). </div>(Эти операции можно представлять себе как сбрасывание одного кирпича вниз на диаграмме Юнга. Про диаграммы Юнга смотри <a href="https://problems.ru/thes.php?letter=4#diagramma_junga">зд...

Найдите число всех диаграмм Юнга с весом <i>s</i>, если

а)  <i>s</i> = 4;   б)  <i>s</i> = 5;   в)  <i>s</i> = 6;   г)  <i>s</i> = 7.

Определение диаграмм Юнга смотри в <a href="https://problems.ru/thes.php?letter=4#diagramma_junga">справочнике</a>.

Напишите многочлены <i>T</i>_α и нарисуйте соответствующие им диаграммы Юнга для следующих наборов α

  а)  (3, 2);    б)  (3, 2, 1);    в)  (3, 3, 0, 0);    г)  (4, 1, 1, 0).

Определение многочленов <i>T</i>_α смотри в задаче <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161417">161417</a>, определение диаграмм Юнга в <a href="https://problems.ru/thes.php?letter=4#diagramma_junga">справочнике</a>.

  <b>Определение</b>. Пусть  α = (<i>k, j, i</i>)  – набор целых неотрицательных чисел,  <i>k ≥ j ≥ i</i>.  Через <i>T</i>_α(<i>x, y, z</i>) будем обозначать симметрический многочлен от трёх переменных, который есть по определению сумма одночленов вида <i>x^ay^bz^c</i> по всем шести перестановкам  (<i>a, b, c</i>)  набора  (<i>k, j, i</i>).

  Аналогично определяются многочлены <i>T</i>_α для произвольного количества переменных/чисел в наборе α.

  Запишите через многочлены вида <i>T</i>_α неравенства

  а)  <i>x</i><sup...

Докажите неравенства:

  а)  <i>x</i>⁴ + <i>y</i>⁴ + <i>z</i>⁴ ≥ <i>x</i>²<i>yz</i> + <i>xy</i>²<i>z</i> + <i>xyz</i>²;

  б)  <i>x</i>³ + <i>y</i>³ + <i>z</i>³ ≥ 3<i>xyz</i>;

  в)  <i>x</i>⁴ + <i>y</i>⁴ + <i>z</i>⁴ + <i>t</i>⁴ ≥ 4<i>xyzt</i>;

  г)   <i>x</i>⁵ + <i>y</i>⁵ ≥ <i>x</i>³<i>y</i>² + <i>x</i>²<i>y<...

Докажите, что если  α < β,   то  <i>S</i>_α(<b><i>x</i></b>) ≤ <i>S</i>_β(<b><i>x</i></b>),  причём равенство возможно только когда  <i>x</i>₁ = <i>x</i>₂ = ... = <i>x_n</i>.

Определение средних степенных <i>S</i>_α(<b><i>x</i></b>) можно посмотреть в <a href="https://problems.ru/thes.php?letter=17#srednee_stepennoe">справочнике</a>.

Докажите, что если  α < 0 < β,  то   <i>S</i>_α(<b><i>x</i></b>) ≤ <i>S</i>₀(<b><i>x</i></b>) ≤ <i>S</i>_β(<b><i>x</i></b>),  причём   <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61414/problem_61414_img_2.gif">

Определение средних степенных <i>S</i>_α(<b><i>x</i></b>) можно посмотреть в <a href="https://problems.ru/thes.php?letter=17#srednee_stepennoe">справочнике</a>.

Докажите, что если  α < β  и  αβ ≠ 0,   то  <i>S</i>_α(<b><i>x</i></b>) ≤ <i>S</i>_β(<b><i>x</i></b>).

Определение средних степенных <i>S</i>_α(<b><i>x</i></b>) можно посмотреть в <a href="https://problems.ru/thes.php?letter=17#srednee_stepennoe">справочнике</a>.

Докажите, что выполняются классические неравенства между средними степенными:  <i>S</i>_–1(<b><i>x</i></b>) ≤ <i>S</i>₀(<b><i>x</i></b>) ≤ <i>S</i>₁(<b><i>x</i></b>) ≤ <i>S</i>₂(<b><i>x</i></b>).

Определение средних степенных можно найти в <a href="https://problems.ru/thes.php?letter=17#srednee_stepennoe">справочнике</a>.

Пусть <i>p</i> и <i>q</i> – положительные числа, причём   ¹/_<i>p</i> + ¹/_<i>q</i> = 1.  Докажите, что   <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61411/problem_61411_img_2.gif"> Значения переменных считаются положительными.

Докажите, что если  <i>x + y + z</i> = 6,  то  <i>x</i>² + <i>y</i>² + <i>z</i>² ≥ 12.

Докажите неравенства:

  а)   <i>n</i>(<i>x</i>₁ + ... + <i>x_n</i>) ≥ (<img width="34" height="30" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61409/problem_61409_img_2.gif"> + ... + <img width="34" height="30" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61409/problem_61409_img_3.gif">)²

  б)   <img width="119" height="55" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61409/problem_61409_img_4.gif"> ≤ <img width="24" height="49" align="MIDDLE" border="0" src="/stor...

Докажите, что для любых<i>x</i>₁,...,<i>x</i>_n$\in$[0; $\pi$] справедливо неравенство:<div align="CENTER"> sin$\displaystyle \left(\vphantom{\dfrac{x_1+\ldots+x_n}{n}}\right.$$\displaystyle {\dfrac{x_1+\ldots+x_n}{n}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\dfrac{x_1+\ldots+x_n}{n}}\right)$ $\displaystyle \geqslant$ $\displaystyle {\dfrac{\sin x_1+\ldots+ \sin x_n}{n}}$. </div>

<b>Неравенство Иенсена.</b>Докажите, что если функция<i>f</i>(<i>x</i>) выпукла вверх на отрезке [<i>a</i>;<i>b</i>], то для любых различных точек<i>x</i>₁,<i>x</i>₂, ...,<i>x</i>_n(<i>n</i>$\geqslant$2) из [<i>a</i>;<i>b</i>] и любых положительных$\alpha_{1}^{}$,$\alpha_{2}^{}$, ...,$\alpha_{n}^{}$таких, что$\alpha_{1}^{}$+$\alpha_{2}^{}$+...+$\alpha_{n}^{}$= 1, выполняется неравенство:<div align="CENTER"> <i>f</i> ($\displaystyle \alpha_{1}^{}$<i>x</i>₁ +...+ $\displaystyle \alpha_{n}^{}$<i>x</i><sub>n</sub&g...

Докажите, что если функция<i>f</i>(<i>x</i>) выпукла вверх на отрезке [<i>a</i>;<i>b</i>], то для любых различных точек<i>x</i>₁,<i>x</i>₂из [<i>a</i>;<i>b</i>] и любых положительных$\alpha_{1}^{}$,$\alpha_{2}^{}$таких, что$\alpha_{1}^{}$+$\alpha_{2}^{}$= 1 выполняется неравенство: <div align="CENTER"> <i>f</i>$\displaystyle \left(\vphantom{\alpha_1x_1+\alpha_2x_2}\right.$$\displaystyle \alpha_{1}^{}$<i>x</i>₁ + $\displaystyle \alpha_{2}^{}$<i>x</i>₂$\displaystyle \left.\vphantom{\alpha_1x_1+\alpha_2x_2}\right)$ > $\displaystyle \alpha_{1}^{}$<i&gt...

<b>Спортпрогноз.</b>Предположим, что ожидается баскетбольный матч между двумя командами<i>A</i>и<i>B</i>, в котором возможно только два исхода: одна из команд выигрывает. Две букмекерские конторы принимают ставки с разными коэффициентами<i>k</i>_A⁽¹⁾,<i>k</i>_B⁽¹⁾,<i>k</i>_A⁽²⁾,<i>k</i>_B⁽²⁾. Например, если игрок сделал ставку<i>N</i>в первой конторе на команду<i>A</i>, и эта команда выиграла, то игрок получает сумму<i>k</i>_A^{(1) .}<i>N</i&gt...

Используя результат задачи <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161403">161403</a>, докажите неравенства:

  а)   <img width="76" height="30" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61404/problem_61404_img_2.gif"> ≤ <img width="98" height="47" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61404/problem_61404_img_3.gif">   <i>неравенство Коши</i>);

  б)   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61404/problem_61404_img_4.gif">   в)   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61404/problem_61404_img_5.gif">   где  <i>b</i><sub>1</sub&...