а) Первый способ. Из неравенства Коши для двух чисел (см. задачу 120862) по индукции легко выводится неравенство Коши для  n = 2^k  чисел. Поэтому достаточно доказать, что из неравенства Коши для n чисел следует неравенство Коши для  n – 1  числа.

  Действительно, согласно неравенству Коши для n чисел

  откуда     что и требовалось.

  Второй способ. Пусть   a₁ + ... + a_n = n   (это не ограничивает общности). Надо доказать, что     Пусть среди чисел a_i есть неравные. Тогда среди них найдутся такие два числа (можно считать, что это a₁ и a₂), что  a₁ < 1,  a₂ > 1.  Заменим a₁ на  c₁ = 1,  а a₂ на

c₂ = a₁ + a₂ – 1.  Тогда  c₁ + c₂ + a₃ + ... + a_n  по-прежнему равно n, а     поскольку

c₁c₂ = 1·(a₁ + a₂ – 1) = a₁a₂ + (1 – a₁)(a₂ – 1) > a₁a₂.

  Продолжая эти замены, мы дойдём до набора  (1, 1, ..., 1).  Следовательно,  

  Третий способ. Положим  b₁ = ... = b_n = 1  и применим неравенство из задачи 61403.

  Четвёртый способ. Это частный случай неравенства Мюрхеда (см. задачу 161425).   б) Положим  a₁ = ... = a_n = 1  и применим неравенство из задачи 61403.   в) Положим  a₁ = b₁c₁,  ...,  a_n = b_nc_n  и применим неравенство из задачи 61403.

Ответ задачи отсутствует