Олимпиадные задачи из источника «параграф 2. Суммы и минимумы»
параграф 2. Суммы и минимумы
Назад<b>Спортпрогноз.</b>Предположим, что ожидается баскетбольный матч между двумя командами<i>A</i>и<i>B</i>, в котором возможно только два исхода: одна из команд выигрывает. Две букмекерские конторы принимают ставки с разными коэффициентами<i>k</i><sub>A</sub><sup>(1)</sup>,<i>k</i><sub>B</sub><sup>(1)</sup>,<i>k</i><sub>A</sub><sup>(2)</sup>,<i>k</i><sub>B</sub><sup>(2)</sup>. Например, если игрок сделал ставку<i>N</i>в первой конторе на команду<i>A</i>, и эта команда выиграла, то игрок получает сумму<i>k</i><sub>A</sub><sup>(1) . </sup><i>N</i>...
Используя результат задачи <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161403">161403</a>, докажите неравенства:
а) <img width="76" height="30" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61404/problem_61404_img_2.gif"> ≤ <img width="98" height="47" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61404/problem_61404_img_3.gif"> <i>неравенство Коши</i>);
б) <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61404/problem_61404_img_4.gif"> в) <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61404/problem_61404_img_5.gif"> где <i>b</i><sub>1</sub&...
Докажите неравенство: <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61403/problem_61403_img_2.gif">
Значения переменных считаются положительными.
Выведите из неравенства задачи <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161401">161401</a> а) <i>неравенство Коши-Буняковского</i>: <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61402/problem_61402_img_2.gif"> б) неравенство <i>между средним арифметическим и средним квадратичным</i>: <img width="98" height="47" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61402/problem_61402_img_3.gif"> ≤ <img width="114" height="63" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61402/problem_61402_img_4.gif">; в) неравенство <i>между средним арифметическим и средним гармоническим</i>: ...
Докажите неравенство: <img width="23" height="55" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61401/problem_61401_img_2.gif"> + ... + <img width="23" height="55" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61401/problem_61401_img_3.gif"> ≥ <img width="114" height="55" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61401/problem_61401_img_4.gif">.
Значения переменных считаются положительными.
Предположим, что имеется набор функций <i>f</i><sub>1</sub>(<i>x</i>), ..., <i>f<sub>n</sub></i>(<i>x</i>), определённых на отрезке [<i>a, b</i>]. Докажите неравенство: <div align="center"><img src="/storage/problem-media/61400/problem_61400_img_2.gif"> </div>