Олимпиадные задачи из источника «параграф 2. Суммы и минимумы» - сложность 3 с решениями

Используя результат задачи <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161403">161403</a>, докажите неравенства:

  а)   <img width="76" height="30" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61404/problem_61404_img_2.gif"> ≤ <img width="98" height="47" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61404/problem_61404_img_3.gif">   <i>неравенство Коши</i>);

  б)   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61404/problem_61404_img_4.gif">   в)   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61404/problem_61404_img_5.gif">   где  <i>b</i><sub>1</sub&...

Докажите неравенство:   <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61403/problem_61403_img_2.gif">

Значения переменных считаются положительными.

Выведите из неравенства задачи <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161401">161401</a>   а) <i>неравенство Коши-Буняковского</i>:   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61402/problem_61402_img_2.gif">   б) неравенство <i>между средним арифметическим и средним квадратичным</i>:   <img width="98" height="47" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61402/problem_61402_img_3.gif"> ≤ <img width="114" height="63" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61402/problem_61402_img_4.gif">;   в) неравенство <i>между средним арифметическим и средним гармоническим</i>:  ...

Докажите неравенство:  <img width="23" height="55" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61401/problem_61401_img_2.gif"> + ... + <img width="23" height="55" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61401/problem_61401_img_3.gif"> ≥ <img width="114" height="55" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61401/problem_61401_img_4.gif">.

Значения переменных считаются положительными.