Олимпиадные задачи из источника «параграф 1. Различные неравенства»
параграф 1. Различные неравенства
Назад<i>a, b, c</i> – такие три числа, что <i>a + b + c</i> = 0. Доказать, что в этом случае справедливо соотношение <i>ab + ac + bc</i> ≤ 0.
Докажите, что уравнение <sup><i>x</i></sup>/<sub><i>y</i></sub> + <sup><i>y</i></sup>/<sub><i>z</i></sub> + <sup><i>z</i></sup>/<sub><i>x</i></sub> = 1 неразрешимо в натуральных числах.
Докажите справедливость оценок: а) <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61398/problem_61398_img_2.gif"> б) <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61398/problem_61398_img_3.gif"> в) <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61398/problem_61398_img_4.gif"> г) <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61398/problem_61398_img_5.gif">
Как расставить скобки в выражении2<sup>2<sup>.<sup>.<sup>.<sup>2</sup></sup></sup></sup></sup>, чтобы оно было максимальным?
Докажите, что для любых натуральных <i>m</i> и <i>n</i> хотя бы одно из чисел <img width="32" height="33" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61396/problem_61396_img_2.gif">, <img width="34" height="33" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61396/problem_61396_img_3.gif"> не больше <img width="26" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61396/problem_61396_img_4.gif">.
Докажите, что при <i>x</i> ∈ (0, <sup>π</sup>/<sub>2</sub>) выполняется неравенство <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61395/problem_61395_img_2.gif">
Докажите неравенства:
а) <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61394/problem_61394_img_2.gif"> б) <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61394/problem_61394_img_3.gif"> при <i>n</i> > 1; в) <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61394/problem_61394_img_4.gif"> при <i>n</i> > 6.
Найдите наименьшую величину выражения <img width="119" height="49" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61393/problem_61393_img_2.gif"> + <img width="119" height="49" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61393/problem_61393_img_3.gif"> + ... + <img width="127" height="49" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61393/problem_61393_img_4.gif">.
Даны рациональные положительные <i>p, q</i>, причём <sup>1</sup>/<sub><i>p</i></sub> + <sup>1</sup>/<sub><i>q</i></sub> = 1. Докажите, что для положительных <i>a</i> и <i>b</i> выполняется неравенство <i>ab ≤ <sup>a<sup>p</sup></sup></i>/<i><sub>p</sub> + <sup>b<sup>q</sup></sup></i>/<sub><i>q</i></sub>.
Докажите, что для любого натурального <i>n</i> сумма <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61391/problem_61391_img_2.gif"> лежит в пределах от ½ до ¾.
Докажите, что для любого натурального <i>n</i> справедливо неравенство <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61390/problem_61390_img_2.gif">
Докажите неравенство (1 + <i>x</i><sub>1</sub>)...(1 + <i>x</i><sub><i>n</i></sub>) ≥ 2<sup><i>n</i></sup>, где <i>x</i><sub>1</sub>...<i>x<sub>n</sub></i> = 1.
Значения переменных считаются положительными.
Докажите, что при <i>a</i><sub>1</sub> ≥ <i>a</i><sub>2</sub> ≥ ... ≥ <i>a<sub>n</sub></i> ≥ 0 выполняется неравенство <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61388/problem_61388_img_2.gif">
Докажите неравенства: <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61387/problem_61387_img_2.gif">
Значения переменных считаются положительными.
Докажите <i>неравенство Чебышёва</i> <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61386/problem_61386_img_2.gif"> при условии, что <i>a</i><sub>1</sub> ≥ <i>a</i><sub>2</sub> ≥ ... ≥ <i>a<sub>n</sub></i> и
<i>b</i><sub>1</sub> ≥ <i>b</i><sub>2</sub> ≥ ... ≥ <i>b<sub>n</sub></i>.
Докажите, что если <i>a</i><sub>1</sub> ≥ <i>a</i><sub>2</sub> ≥ ... ≥ <i>a<sub>n</sub></i>, <i>b</i><sub>1</sub> ≥ <i>b</i><sub>2</sub> ≥ ... ≥ <i>b<sub>n</sub></i>, то наибольшая из сумм вида <i>a</i><sub>1</sub><i>b</i><sub><i>k</i><sub>1</sub></sub> + <i>a</i><sub>2</sub><i>b</i><sub><i>k</i><sub>2</sub></sub> + ... + <i>a<sub>n</sub>b<sub>k<sub>n</sub></sub></i> (<i>k</i><sub>1</sub>, <i>k</i><sub>2<...
Докажите неравенство 3(<i>a</i><sub>1</sub><i>b</i><sub>1</sub>+<i>a</i><sub>2</sub><i>b</i><sub>2</sub>+<i>a</i><sub>3</sub><i>b</i><sub>3</sub>) ≥ (<i>a</i><sub>1</sub>+<i>a</i><sub>2</sub>+<i>a</i><sub>3</sub>)(<i>b</i><sub>1</sub>+<i>b</i><sub>2</sub>+<i>b</i><sub>3</sub>) при <i>a</i><sub>1</sub>≥<i>a</i><sub>2</sub>≥<i>a</i><sub>3</sub>, <i>b</i><sub>1</sub>≥<i>b</i><sub>2</sub>≥...
Докажите для положительных значений переменных неравенство <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61383/problem_61383_img_2.gif">
Докажите неравенство для положительных значений переменных: <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61382/problem_61382_img_2.gif">
Докажите неравенство для положительных значений переменных: (1 +<sup><i>x</i></sup>/<sub><i>y</i></sub>)(1 +<sup><i>y</i></sup>/<sub><i>z</i></sub>)(1 +<sup><i>z</i></sup>/<sub><i>x</i></sub>) ≥ 8.
Докажите неравенство для положительных значений переменных: <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61379/problem_61379_img_2.gif">
Докажите неравенство для положительных значений переменных: 2(<i>a</i>³ + <i>b</i>³ + <i>c</i>³) ≥ <i>ab</i>(<i>a + b</i>) + <i>ac</i>(<i>a + c</i>) + <i>bc</i>(<i>b + c</i>).
Докажите неравенство для положительных значений переменных: <i>a</i>³<i>b</i> + <i>b</i>³<i>c</i> + <i>c</i>³<i>a</i> ≥ <i>abc</i>(<i>a + b + c</i>).
Докажите неравенство для положительных значений переменных: <i>a</i>²(1 + <i>b</i><sup>4</sup>) + <i>b</i>²(1 + <i>a</i><sup>4</sup>) ≤ (1 + <i>a</i><sup>4</sup>)(1 + <i>b</i><sup>4</sup>).
Докажите для положительных значений переменных неравенство (<i>a + b + c</i>)(<i>a</i>² + <i>b</i>² + <i>c</i>²) ≥ 9<i>abc</i>.