Задача
Пусть α = (α1, ..., αn) и β = (β1, ..., βn) – два набора показателей с равной суммой.
Докажите, что, если α ≠ β, то при всех неотрицательных x1, ..., xn выполняется неравенство Tα(x1, ..., xn) ≥ Tβ(x1, ..., xn).
Определение многочленов Tα смотри в задаче 161417, определение сравнения для показателей можно найти в справочнике.
Решение
Очевидно, достаточно доказать неравенство в случае, когда набор β получается из набора α сбрасыванием одного "кирпича" на диаграмме Юнга. Проведём доказательство для случая, когда делается переход от
β = (α1 – 1, α2 + 1, α3, ..., αn) к α = (α1, α2, α3, ..., αn), где α1 – α2 ≥ 2. При этом каждый одночлен вида 
заменяется одночленом вида 
Для доказательства неравенства Tα(x1, ..., xn) ≥ Tβ(x1, ..., xn) сгруппируем все одночлены, входящие в данное неравенство, парами: 
и проверим, что разность таких пар всегда неотрицательна. Действительно, 
поскольку α1 – 1 > α2 и разность 
имеет тот же знак, что и 
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь