Задача
Докажите, что для любого многочлена P(x) степени m существует единственный многочлен Q(x) степени m + 1 , для которого ΔQ(x) = P(x) и Q(0) = 0.
Решение
Индукция по m. База. Для многочлена P(x) = a степени 0 Q(x) = ax.
Шаг индукции. Пусть P(x) = (m + 1)axm + f(x), Δxm+1 = (m + 1)xm + g(x), где f, g – многочлены степени не выше m – 1. По предположению индукции найдётся такой многочлен степени не выше m, что Δh(x) = f(x) – ag(x). Положим Q(x) = xm+1 + h(x). Тогда
ΔQ(x) = (m + 1)axm + ag(x) + Δh(x) = (m + 1)axm + f(x) = P(x).
Пусть нашелся второй многочлен Q1(x), также удовлетворяющий условиям. Тогда Δ(Q – Q1)(x) = 0. Согласно задаче 161433 многочлен Q – Q1 имеет степень не выше 0. А так как в нуле он обращается в нуль, то он равен нулю.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь