Задача
Даны многочлены P(x) и Q(x) десятой степени, старшие коэффициенты которых равны 1. Известно, что уравнение P(x) = Q(x) не имеет действительных корней. Докажите, что уравнение P(x +1) = Q(x – 1) имеет хотя бы один действительный корень.
Решение
Пусть P(x) = x10 + p9x9 + ... + p0 и Q(x) = x10 + q9x9 + ... + q0. По условию многочлен P(x) – Q(x) = (p9 – q9)x9 + ...
- (p0 – q0) не имеет действительных корней. Значит, степень его чётна, то есть p9 = q9.
Заметим теперь, что P(x + 1) = x10 + (p9 + 10)x9
- ... и Q(x – 1) = x10 + (q9 – 10)x9 + .... Таким образом, многочлен P(x + 1) – Q(x – 1) = 20x9 + ... имеет девятую степень и, следовательно, имеет корень.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет