Олимпиадные задачи из источника «Заключительный этап»
В треугольник <i>ABC</i> вписана окружность ω с центром в точке <i>I</i>. Около треугольника <i>AIB</i> описана окружность Г. Окружности ω и Г пересекаются в точках <i>X</i> и <i>Y</i>. Общие касательные к окружностям ω и Г пересекаются в точке <i>Z</i>. Докажите, что описанные окружности треугольников <i>ABC</i> и <i>XYZ</i>, касаются.
Глава Монетного двора хочет выпустить монеты 12 номиналов (каждый – в натуральное число рублей) так, чтобы любую сумму от 1 до 6543 рублей можно было заплатить без сдачи, используя не более 8 монет. Сможет ли он это сделать?
(При уплате суммы можно использовать несколько монет одного номинала.)
Положительные числа <i>a, b, c</i> и <i>d</i> удовлетворяют условию 2(<i>a + b + c + d</i>) ≥ <i>abcd</i>. Докажите, что <i>a</i>² + <i>b</i>² + <i>c</i>² + <i>d</i>² ≥ <i>abcd</i>.
Из целых чисел от 0 до 1000 выбрали 101 число.
Докажите, что среди модулей их попарных разностей есть десять различных чисел, не превосходящих 100.
На каждой из 2013 карточек написано по числу, все эти 2013 чисел различны. Карточки перевёрнуты числами вниз. За один ход разрешается указать на десять карточек, и в ответ сообщат одно из чисел, написанных на них (неизвестно, какое).
Для какого наибольшего <i>t</i> гарантированно удастся найти <i>t</i> карточек, про которые известно, какое число написано на каждой из них?
Найдите все такие натуральные <i>k</i>, что произведение первых <i>k</i> нечётных простых чисел, уменьшенное на 1, является точной степенью натурального числа (большей, чем первая).
Вписанная и вневписанная сферы треугольной пирамиды <i>ABCD</i> касаются её грани <i>BCD</i> в различных точках <i>X</i> и <i>Y</i>.
Докажите, что треугольник <i>AXY</i> тупоугольный.
Даны многочлены <i>P</i>(<i>x</i>) и <i>Q</i>(<i>x</i>) десятой степени, старшие коэффициенты которых равны 1. Известно, что уравнение <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>Q</i>(<i>x</i>) не имеет действительных корней. Докажите, что уравнение <i>P</i>(<i>x</i> +1) = <i>Q</i>(<i>x –</i> 1) имеет хотя бы один действительный корень.
На плоскости нарисован квадрат, стороны которого горизонтальны и вертикальны. В нём проведены несколько отрезков, параллельных сторонам, причём никакие два отрезка не лежат на одной прямой и не пересекаются по точке, внутренней для обоих отрезков. Оказалось, что отрезки разбили квадрат на прямоугольники, причём каждая вертикальная прямая, пересекающая квадрат и не содержащая отрезков разбиения, пересекает ровно <i>k</i> прямоугольников разбиения, а каждая горизонтальная прямая, пересекающая квадрат и не содержащая отрезков разбиения – ровно <i>l</i> прямоугольников. Каким могло оказаться количество прямоугольников разбиения?
Окружность с центром <i>I</i>, вписанная в треугольник <i>ABC</i>, касается сторон <i>BC, CA, AB</i> в точках <i>A</i><sub>1</sub>, <i>B</i><sub>1</sub>, <i>C</i><sub>1</sub> соответственно. Пусть <i>I<sub>a</sub>, I<sub>b</sub>, I<sub>c</sub></i> – центры вневписанных окружностей треугольника <i>ABC</i>, касающихся соответственно сторон <i>BC, CA, AB</i>. Отрезки <i>I<sub>a</sub>B</i><sub>1</sub> и <i>I<sub>b</sub>A</i><sub>1</sub> пересекаются в точке <i>C</i><sub>2</sub>. Аналогично отрезки <i>I<sub>b<...
Петя и Вася придумали десять многочленов пятой степени. Затем Вася по очереди называл последовательные натуральные числа (начиная с некоторого), а Петя каждое названное число подставлял в один из многочленов по своему выбору и записывал полученные значения на доску слева направо. Оказалось, что числа, записанные на доске, образуют арифметическую прогрессию (именно в этом порядке). Какое максимальное количество чисел Вася мог назвать?
Существует ли такое натуральное <i>n</i>, что для любых ненулевых цифр <i>a</i> и <i>b</i> число <span style="text-decoration: overline;"><i>anb</i></span> делится на <span style="text-decoration: overline;"><i>ab</i></span> ? (Через <span style="text-decoration: overline;"><i>x...y</i></span> обозначено число, получаемое приписыванием друг к другу десятичных записей чисел <i>x, ..., y</i>.)
Внутри вписанного четырёхугольника <i>ABCD</i> отмечены такие точки <i>P</i> и <i>Q</i>, что ∠<i>PDC</i> + ∠<i>PCB</i> = ∠<i>PAB</i> + ∠<i>PBC</i> = ∠<i>QCD</i> + ∠<i>QDA</i> = ∠<i>QBA</i> + ∠<i>QAD</i> = 90°.
Докажите, что прямая <i>PQ</i> образует равные углы с прямыми <i>AD</i> и <i>BC</i>.
Найдите все такие натуральные <i>k</i>, что произведение первых <i>k</i> простых чисел, уменьшенное на 1, является точной степенью натурального числа (большей чем первая).
На окружности отметили <i>n</i> точек, разбивающие её на <i>n</i> дуг. Окружность повернули вокруг центра на угол <sup>2π<i>k</i></sup>/<sub><i>n</i></sub> (при некотором натуральном <i>k</i>), в результате чего отмеченные точки перешли в <i>n новых точек</i>, разбивающих окружность на <i>n новых дуг</i>.
Докажите, что найдётся новая дуга, которая целиком лежит в одной из старых дуг. (Считается, что концы дуги ей принадлежат.)
Из клетчатого квадрата 55×55 вырезали по границам клеток 400 трёхклеточных уголков <img align="middle" src="/storage/problem-media/64351/problem_64351_img_2.gif"> (повёрнутых как угодно) и ещё 500 клеток. Докажите, что какие-то две вырезанные фигуры имеют общий отрезок границы.
На сторонах остроугольного треугольника <i>ABC</i> вне него построены квадраты <i>CAKL</i> и <i>CBMN</i>. Прямая <i>CN</i> пересекает отрезок <i>AK</i> в точке <i>X</i>, а прямая <i>CL</i> пересекает отрезок <i>BM</i> в точке <i>Y</i>. Точка <i>P</i>, лежащая внутри треугольника <i>ABC</i>, является точкой пересечения описанных окружностей треугольников <i>KXN</i> и <i>LYM</i>. Точка <i>S</i> – середина отрезка <i>AB</i>. Докажите, что ∠<i>ACS</i> = ∠<i>BCP</i>.
Петя и Вася придумали десять квадратных трёхчленов. Затем Вася по очереди называл последовательные натуральные числа (начиная с некоторого), а Петя каждое названное число подставлял в один из трёхчленов по своему выбору и записывал полученные значения на доску слева направо. Оказалось, что числа, записанные на доске, образуют арифметическую прогрессию (именно в этом порядке). Какое максимальное количество чисел Вася мог назвать?
По кругу расставлено 2<i>n</i> действительных чисел, сумма которых положительна. Для каждого из них рассмотрим обе группы из <i>n</i> подряд стоящих чисел, в которых это число является крайним. Докажите, что найдётся число, для которого сумма чисел в каждой из двух таких групп положительна.
На плоскости проведены <i>n</i> прямых, среди которых нет параллельных. Никакие три из них не пересекаются в одной точке. Докажите, что существует такая <i>n</i>-звенная несамопересекающаяся ломаная <i>A</i><sub>0</sub><i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub>...<i>A<sub>n</sub></i>, что на каждой из <i>n</i> прямых лежит ровно по одному звену этой ломаной.
На доске написали 100 попарно различных натуральных чисел <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, ..., <i>a</i><sub>100</sub>. Затем под каждым числом <i>a<sub>i</sub></i> написали число <i>b<sub>i</sub></i>, полученное прибавлением к <i>a<sub>i</sub></i> наибольшего общего делителя остальных 99 исходных чисел. Какое наименьшее количество попарно различных чисел может быть среди <i>b</i><sub>1</sub>, <i>b</i><sub>2</sub>, ..., <i>b</i><sub>100</sub>?
Остроугольный треугольник <i>ABC</i> вписан в окружность Ω. Касательные, проведённые к Ω в точках <i>B</i> и <i>C</i>, пересекаются в точке <i>P</i>. Точки <i>D</i> и <i>E</i> – основания перпендикуляров, опущенных из точки <i>P</i> на прямые <i>AB</i> и <i>AC</i>. Докажите, что точка пересечения высот треугольника <i>ADE</i> является серединой отрезка <i>BC</i>.
Даны различные действительные числа <i>a, b, с</i>. Докажите, что хотя бы два из уравнений (<i>x – a</i>)(<i>x – b</i>) = <i>x – c</i>, (<i>x – b</i>)(<i>x – c</i>) = <i>x – a</i>,
(<i>x – c</i>)(<i>x – a</i>) = <i>x – b</i> имеют решение.