Решение 1:   Пусть ABC – данный прямоугольный треугольник,  ∠C = 90°.  Очевидно, что окружность с центром J и радиусом 2r касается AC и BC. Докажем, что она касается также описанной окружности Ω треугольника ABC; отсюда как раз и будет следовать, что  OJ = R – 2r.

  Рассмотрим окружность ω, касающуюся AC, BC в точках P, Q соответственно, и касающуюся Ω изнутри в точке T; нам надо доказать, что J – центр ω. Так как T – центр гомотетии ω и Ω, прямые TP, TQ вторично пересекают описанную окружность в точках, касательные в которых параллельны AC и BC, то есть в серединах B', A' дуг AC, C. Поэтому прямые AA' и BB' пересекаются в точке I. По теореме Паскаля (см. задачу 157105), применённой к ломаной CAA'TB'B, точки P, I, Q лежат на одной прямой. Поскольку прямая PQ перпендикулярна биссектрисе угла C, P, Q – проекции J на AC и BC, что и означает, что J – центр ω.

Решение 2:   По формуле Эйлера (см. задачу 152464)  OI² = R(R – 2r).  Поскольку OI – медиана треугольника OCJ,  4OI² = 2(OC² + OJ²) – CJ²,  или

4R(R – 2r) = 2R² + 2OJ² – 8r²,  откуда и следует, что  OJ² = (R – 2r)².

R – 2r.