Задача
Даны 15 целых чисел, среди которых нет одинаковых. Петя записал на доску все возможные суммы по 7 из этих чисел, а Вася – все возможные суммы по 8 из этих чисел. Могло ли случиться, что они выписали на доску одни и те же наборы чисел? (Если какое-то число повторяется несколько раз в наборе у Пети, то и у Васи оно должно повторяться столько же раз.)
Решение
Рассмотрим набор из семи различных натуральных чисел, семи противоположных им чисел и нуля. Пусть  S = a1 + a2 + ... + a7 – сумма произвольных семи чисел из этого набора. Тогда сумма оставшихся восьми чисел a8, a9, ..., a15 равна – S (так как сумма всех 15 чисел равна нулю). Значит, сумма восьми чисел – a8, – a9, ..., – a15 (которые также входят в наш набор) равна S. Соответствие между семёрками {a1, a2, ..., a7} и восьмёрками {– a8, – a9, ..., – a15}, очевидно, взаимно однозначно.
Ответ
Могло.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь